q111111?V/[(?)?(?)] 4??1ac?2cbV??11?112;a?r?c?[(?)?1(?)]r?ac?2cb Er??V?;c?r?b??[2(1?1)?(1?1)]r2??accb?1?1V ?s(r?a)?Dn(r?a)?11?1112[(?)?(?)]aac?2cb?2V ?s(r?b)?Dn(r?b)???211112[(?)?(?)]b?1accb?V11?'s(r?c)??0(Er(r?c?)?Er(r?c?))?02[?]?2111111?111c[(?)?(?)][(?)?(?)]?1accbac?2cb
2-27 圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，介质的击穿场强为Eb，求此电容器的耐压。
解：设圆柱形电容器内导体电量为q，利用高斯定理，可得 Er?q 2??rLq2??Llnb a内外导体间的电压为 V?因此
q2??L?V blna所以电场可表示为 Er?V1 brlnaV1 balna内导体表面的电场为 Ea?V?aEalnb ab a如果介质的击穿场强为Eb，则电容器的耐压为V?aEbln
2-28已知真空中一内外半径分别为a、b的介质球壳，介电常数为?，在球心放一电量为q
的点电荷。（1）用介质中的高斯定理求电场强度；（2）求介质中的极化强度和束缚电荷。
解：（1）由题意，电场具有球对称结构。采用高斯定理上
Dr???D???dS?q，在半径为r的球面
S??由D??E得
q 24?r?q;r?a,r?b??4??0r2 Er??
q?;a?r?b2??4??r???????0（2）P??0?eE??0((?r?1)E?(???0)E?????0q1?)?0 ??(2r ?'????P???4?r?? ?'s?P?n????0q??? ?'s(r?a)?P?n 2?4?a????0q?? ?'s(r?b)?P?n2?4?b?q? r4?r2
n2-29 某介质的介电常数为??az，a和n均为常数，若介质中的电场强度为恒值且只有z?nD分量，证明：??D?。
z??? 证明 D??E?aznE0z?dnD ??D? (aznE0)?nazn?1E0?dzz
2-30 .有三层均匀介质，介电常数分别为?1,?2,?3,取坐标系使分界均平行于xy面。已知
?????三层介质中均为匀强场，且E1?3x?2z，求E2,E3。 ???2z?，设第二、三层介质中的电场强度分别为 E解：因为三层介质中均为匀强场，1?3x????E3yy??E3zz??E2yy??E2zz? ?； E3?E3xx E2?E2xx由边界条件E1t?E2t可得
E2x?E3x?E1x?3， E2y?E3y?E1y?0 由边界条件D1n?D2n， 可得
D2z?D3z?D1z?2?1，即E2z?2?1/?2；E3z?2?1/?3
????2?1/?2z?，E3?3x??2?1/?3z? 所以 E2?3x
2-31 .半径为a的导体球中有两个半径均为b的球形腔，在其中一个空腔中心有一个电量为q的点电荷在该球形空腔中心，如图所示，如果导体球上的总电量为0，求导体球腔中及球外的电场强度。
?解：（1）在有点电荷的空腔中，由于对称性，电场强度为E1???qR1，R1为从空腔中24??0R1心指向该空腔中场点的位置矢量。
（2）在另一没有点电荷的空腔中，由于静电屏蔽，该空腔中的电场强度为零。
（3）在导体球外，由于导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，因此导体球外电场具有球对称性，且导体球上的电量为q,所以导体球外的电场强度为 Er?q4??0r2 r为导体球心到场点的距离。
题2.31图 题2.28图
2-32 .同轴圆柱形电容器内外半径分别为a、b，导体之间一半填充介电常数为?1的介质，另一半填充介电常数为?2的介质。当电压为V时，求电容器中的电场和电荷分布。 解：设内导体上的电量为q,在内外导体之间取半径为 r的圆柱面，利用高斯定理
?? ??D?dS?q
S在两个半柱面上，电场强度分别相等，上式变为 2?rl(?1E1r??2E2r)?q 由介质边界条件E1r?E2r?Er，可得 Er?q
2?l(?1??2)rb内外导体之间的电压为 V?Erdr?a?q2?l(?1??2)lnb a2?l(?1??2)V；从而得
blnaV Er?
brlna由此得q? 电荷分布为
??1V??2V;r?a;r?a??bb?aln?aln??aa；?2介质侧?s?? ?1介质侧?s???1V?2V????;r?b;r?bbb?bln?bln??aa??
2-33 z>0半空间为介电常数为?1的介质，z<0半空间为介电常数为?2的介质，当 (1)电量为q的点电荷放在介质分界面上；
(2)电荷线密度为?l的均匀线电荷放在介质分界面上。 求电场强度。
解：（1）电量为q的点电荷放在介质分界面上
以点电荷为中心作以半径为r的球，利用高斯定理
?? ??D?dS?q
S设上、下半球面上的电位移矢量分别D1、D2，根据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有
2 2?r(D1n?D2n)=q
??根据边界条件E1t?E2t，因此
2 2?r(?1E1t??2E2t)?q
Er?E1r?E2r?q 22?(?1??2)r
（2）电荷线密度为?l的均匀线电荷放在介质分界面上
以线电荷为轴线作以半径为r单位长度的圆柱面，利用高斯定理
?? ??D?dS??l
S??设上、下半柱面上的电位移矢量分别D1、D2，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别
相等，有
?r(D1n?D2n)=?l 根据边界条件E1t?E2t，因此 ?r(?1E1t??2E2t)??l Er?E1r?E2r??l
?(?1??2)r
2-34.面积为A，间距为d的平板电容器电压为V，介电常数为?厚度为t的介质板分别按如图a、b所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中电场及电荷分布。
题2.34图
Eet?E0(d?t)?V
?Ee??0E0 （边界条件） 求解以上两式得
解：（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为Ee、E0，那么Ee、E0满足关系
?????rVV； E0?
t??r(d?t)t??r(d?t)根据导体表面上的边界条件?s?Dn，在上、下导体表面上的电荷面密度为
?V ?s??
t??r(d?t) Ee? (b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为 E?V/d
根据导体表面上的边界条件?s?Dn，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为 ?0s???0V/d
在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为 ?es???V/d
2-35 在内外半径分别为a和b之间的圆柱形区域内无电荷，在半径分别为a和b的圆柱面上电位分别为V和0。求该圆柱形区域内的电位和电场。
解：由电荷分布可知，电位仅是?的函数，电位满足的方程为
1dd?(?)?0 ?d?d?解微分方程得
?(?)?c1ln??c2 利用边界条件
?(a)?c1lna?c2?V
?(b)?c1lnb?c2?o
VVlnb 得 c1?， c2??aalnlnbb因此
Vbln b?lna2-36在半径分别为a和b的两同轴导电圆筒围成的区域内，电荷分布为??A/r，A为常数，若介质介电常数为?，内导体电位为V，外导体电位为0。求两导体间的电位分布。
?(?)?解 由电荷分布可知，电位仅是?的函数，电位满足的方程为
1dd?A(r)?? rdrdr?r解微分方程得
电磁场与电磁波(西安交大第三版)第2章课后答案
