?a3?5ba2r3a2?5baa2r4dr??dr??? ?(r)?? 2225?020?020?0a5?0rar5?0a
?a
?15a2r4(?5ab?2);r?a??5?044a ?(r)?? 2a?(a?5b);r?a?5?r0?
2-15四个点电荷在圆球坐标系中大小和位置分别为q(a,?/2,0)，q(a,?/2,?/2)，
?q(a,?/2,?)，?q(a,?/2,3?/2)，求r??a处的电位。
??，解 此4个点电荷组成分别沿x、y轴放置的互相垂直的两对电偶极子p1?2aqx??，电位为 p2?2aqy????(p1?p2)?r ?(r)?
4??0r2 在圆球坐标系中
??r??sin?sin? ??r??sin?cos?，y x????(p1?p2)?raq?sin?(cos??sin?) ?(r)?224??0r2??0r
???4y??5z?，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。 2-16.已知电场强度为E?3x解
?? Vab??(a)??(b)??E?dl
ba解1 从点a(0,0,0)到点b(1,2,1)的路径l取l1(0,0,0)到点(1,0,0)-+ l2点(1,0,0)到点(1,2,0)-+l3点 (1,2,0)到点(1,2,1)
21????????1 Vba??E?dl??E?dl??E?dl??E?dl??3dx??4dy??5dz?6
ll1l2l3000
解2 E????
???(3x?4y?5z) Vab??(0,0,0)??(1,2,1)?6 2-17.已知在球坐标中电场强度为E???3?，试求点(a,?1,?1)与点(b,?2,?2)之间的电r2r压。
解 从点(a,?1,?1)到点(b,?2,?2)的路径l取l1(a,?1,?1)到点(b,?1,?1) +l2点
(b,?1,?1) (1,0,0)到点(1,2,0)-+l3点 (1,2,0)到点(1,2,1)
????????b311??r?dr?3(?) V??E?dl??E?dl??E?dl??E?dl??2rabll1l2l3ar?2?，试求点2-18.已知在圆柱坐标中电场强度为E??与点(b,?2,0)之间的电压。 ?解 点到点(b,?2,0)之间路径l取l1到点(b,?1,0) +l2点(b,?1,0)到点(b,?2,0)
??????b2b????d??2ln V??E?dl??E?dl??E?dl????all1l2a??(P02-19.半径为a，长度为L的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为P?P0z为常数）。求介质中的束缚电荷。
?解: (1)介质中的束缚电荷体密度为?'????P?0
???P (2) 介质表面的束缚电荷面密度为?'s?n在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为
?'s??P0.
2-20.求上题中的束缚电荷在轴线上产生的电场。 解： 上下端面上束缚电荷产生的电场 由例题，圆盘形电荷产生的电场为
z'??s(1?);z'?0?22?2?0z'?a Ez(z')??
?sz'??(1?);z'?022?z'?a?2?0式中a 为圆盘半径.
对上式做变换,z'?z?L/2,?s?P0,可上端面上束缚电荷产生的电场为
z?L/2?P0(1?);z?L/2?2?22(z?L/2)?a?0 Ez1(z)??
P0z?L/2??(1?);z?L/2222?0?(z?L/2)?a?同理,做变换,z'?z?L/2,?s??P0,可下端面上束缚电荷产生的电场为 z?L/2??P0(1?);z??L/2?2?22(z?L/2)?a?0 Ez2(z)??
P0z?L/2?(1?);z??L/2222?0?(z?L/2)?a?上下端面上束缚电荷产生的总电场为
?P0z?L/2z?L/2?[?];z?L/22222?0(z?L/2)?a?(z?L/2)?a?z?L/2z?L/2?P Ez??0[?2??];?L/2?z?L/2
222(z?L/2)?a(z?L/2)?a?2?0?P0z?L/2z?L/2[?];z??L/2?22222?0(z?L/2)?a(z?L/2)?a??
??，求束缚电荷分布。 2-21.半径为a的介质球均匀极化，P?P0z?解: (1)介质中的束缚电荷体密度为?'????P?0
???P?z?P0?P0cos? ??r (2) 介质表面的束缚电荷面密度为?'s?n
2-22.求上题中束缚电荷在球中心产生的电场。 解: 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场
在介质球表面取半径为r?asin?宽度为dl?asin?d?的环带,可看成
半径为r?asin?,z??acos?,电荷线密度为?l?aP0sin?cos?d?的线电荷圆环,例中给出了线电荷圆环的电场,对?积分得
P0?P0?P0?a3sin2?cos2?d?2 Ez? ?sin2?d???223/2?2?0?8?16?[(asin?)?(acos?)]0000
2-23.无限长的线电荷位于介电常数为?的均匀介质中，线电荷密度?l为常数，求介质中的电场强度。
解: 设无限长的线电荷沿 z轴放置, 利用高斯定理,容易求得介质中的电场强度为 E???l ?为场点到线电荷的距离. 2???
2-24. 半径为a的均匀带电球壳，电荷面密度?s为常数，外包一层厚度为d、介电常数为?的介质，求介质内外的电场强度。
解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理
?? ??D?dS?q
S22上式左右两边分别为 4?rDr?4?a?s
a2?s由此得 Dr?
r2
?a2?s;a?r?a?d?????r2因为D??E，所 以 Er??
a2?s?;r?a?d2???0r
2-25.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，内外导体球壳电位分别为V和0。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度。
解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为 Er?bq 24??r两导体球壳之间的电压为 V?Erdr?a?q11(?) 4??ab1
11r2?abV
代入得，两导体球壳之间的电场为 Er?球壳面上的电荷面密度为
1
11a2?ab?V1 ?s(r?b)?Dn(r?b)??Er(r?b)??
11b2?ab ?s(r?a)?Dn(r?a)??Er(r?a)?
2-26 两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为?1、?2，介质界面半径为c，内外导体球壳电位分别为V,0。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度以及介质分界面上的束缚电荷面密度。
解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理可得，Dr??Vq 24?r两导体球壳之间的电场为
?q;a?r?c2??4??1r Er??
q?;c?r?b2?4??r2?两导体球壳之间的电压为
b V?Erdr?a?11q11(?)?(?) 4??1ac4??2cb
q
