，．
所以数列{bn}的前n项和为．
【点睛】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.
18.2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次． （1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ 对商品好评 对商品不满意 合计
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．
①求随机变量X的分布列； ②求X的数学期望和方差． 附：P（K2≥k） k
【答案】（1）详见解析（2）①详见解析②【解析】 【分析】
(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的
对服务好评 140 对服务不满意 10 合计 200 ，其中n＝a＋b＋c＋d．
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 ，
概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值；（ⅱ）按照二项分布的期望和方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表： 对商品好评 对商品不满意 合计 则
．
对服务好评 140 10 150 对服务不满意 40 10 50 合计 180 20 200 由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关． （2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为， 且X的取值可以是0，1，2，3， 则
，
，
故X的分布列为 X P
（ⅱ）由于X～B（3，），则
，
．
0 1 2 3 ， ．
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.
19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，AA1＝3．
（1）求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；
（2）若M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，求二面角A－A1M－B的余弦值． 【答案】（1）【解析】 【分析】
(1)根据正弦定理求底面的面积，再由棱柱的体积公式求得体积，即可；（2）先根据题干条件得到以及图形特点得到AM⊥平面ABB1A1再建立坐标系，求得二面角的余弦值即可. 【详解】（1）因为∠BAC＝120°，AC＝AB＝2， 所以所以
．
．
（2）
（2）在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2×AC×AB×cos∠BAC
，
所以
．
因为M是棱BC的一个靠近点C的三等分点， 所以
．
因为∠BAC＝120°，AC＝AB＝2， 所以∠ACB＝∠ABC＝30°．
由余弦定理，得AM2＝AC2＋CM2－2×AC×CM×cos∠ACB
，
所以
．
所以CM＝AM，
所以∠ACM＝∠CAM＝30°，
所以∠MAB＝∠CAB－∠CAM＝120°－30°＝90°，即AM⊥AB． 易知AA1⊥平面ABC，AM所以AA1⊥AM．
又因为AB∩AA1＝A，所以AM⊥平面ABB1A1．
以A为原点，AM，AB，AA1分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：
平面ABC，
则点A（0，0，0），M（所以
，
，0，0），A1（0，0，3），B（0，2，0），
．
设平面A1BM的法向量为m＝（x0，y0，z0），则
令z0＝2，得m＝（，3，2），易得平面AA1M的一个法向量为n＝（0，1，0）．
．
设二面角A－A1M－B的平面角为θ，由题意，得θ为锐角，则所以二面角A－A1M－B的余弦值为
．
【点睛】这个题目考查了空间几何体的体积的计算，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向
量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。 20.已知点O为坐标原点，椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，
点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ的边IJ上的中线长为． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点H（－2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（2）x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0
(1)由直角三角形中线性质得到，再根据条件得到求解即可；（2）设出直线AB，
联立直线和椭圆得到二次方程，由AF1⊥BF1，得到＋k）x1x2＋1＋4k＝0，代入韦达定理即可.
2
2
，整理得（1＋2k）（x1＋x2）＋（1
2
【详解】（1）由题意得△IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为，所以．
设椭圆C的半焦距为c，则
解得
．
所以椭圆C的标准方程为
（2）由题知，点F1的坐标为（－1，0），显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝k（x＋2）（k≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立
消去y，得（1＋2k）x＋8kx＋8k－2＝0，
2
2
2
2
所以Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＝8（1－2k2）＞0，所以．（*）
且，．
因为AF1⊥BF1，所以，
河南省九师联盟2019届高三1月质量检测数学（理）试题（含解析）
