解答：
解：（1）由题意可得，e==
且c+
=3，解得c=1，a=
， ，
则b=1，即有椭圆方程为
+y2=1；
（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意； 当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0， 则x1+x2=
，x1x2=
，
则C（，），且
|AB|=?=，
若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意； 则k≠0，故PC：y+
=﹣（x﹣
），P（﹣2，
），
从而|PC|=，
由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，
此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，
运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题． 19．（16分）（2015?江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）． （1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 专题：综合题；导数的综合应用． 分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数
f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣a＞0时，
﹣a+c＞0或a＜0时，
）=b（+b）＜0，进一步转化为
﹣a+c，利用
﹣a+c＜0．设g（a）=
条件即可求c的值． 解答： 解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，
∴f′（x）=3x2+2ax，
令f′（x）=0，可得x=0或﹣
．
a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增； a＞0时，x∈（﹣∞，﹣＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣
），（0，+∞）上单调递增，在（﹣
，0）上单调递减；
）时，f′（x）
）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣
，0）时，f′（x）
a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣
，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣
，+∞）上单调递增，在（0，﹣
）=
）上单调递减； +b，则函数
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣∵b=c﹣a， ∴a＞0时，设g（a）=
﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c，
﹣a+c＜0． ）=b（
+b）＜0，
∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），
∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，
∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，
∴c=1，
此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]， ∵函数有三个零点，
∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，
∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，
解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），
综上c=1． 点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论
的数学思想，难度大．
20．（16分）（2015?江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列． （1）证明：2
，2
，2
，2
依次构成等比数列；
（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．
考点：等比关系的确定；等比数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；
（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；
（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依
（）
次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2n+k，且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=
（）
（a1+2d）2n+2k，利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立． 解答：
解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，
∴2，2，2，2依次构成等比数列；
（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0） 假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列， 则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4， 令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0）， 化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式， t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣， 显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．
（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，
则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2
（n+k）
，且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2
，a12
（n+2k）
（n+2k）
，
分别在两个等式的两边同除以=a12
（n+k）
，并令t=，（t＞，t≠0），
则（1+2t）n+2k=（1+t）2n+k，且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2n+2k， 将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t）， 且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t）， 化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]， 且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]， 再将这两式相除，化简得，
ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**） 令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），
（
）
（
）
则g′（t）=
[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）
+3（1+t）2ln（1+t）]，
令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）， 则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]， 令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]， 令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=
由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，
知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调， 故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立， 所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列． 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数
推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】 21．（10分）（2015?江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．
求证：△ABD∽△AEB．
＞0，
考点：相似三角形的判定． 专题：推理和证明． 分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似． 解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共
角，
可知：△ABD∽△AEB． 点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10分）（2015?江苏）已知x，y∈R，向量
=
是矩阵
的属于特征值﹣2的
一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．
考点：特征值与特征向量的计算． 专题：矩阵和变换． 分析：
利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．
解答：
解：由已知，可得A
=﹣2，即==，
则，即，
∴矩阵A=，
从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1）， ∴矩阵A的另一个特征值为1． 点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015?江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2
ρsin（θ﹣
）﹣4=0，求圆C的半径．
考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：计算题；坐标系和参数方程． 分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径． 解答：
解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，
化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0， 化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6， 圆的半径r=． 点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关
键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，
[选修4-5：不等式选讲】 24．（2015?江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．
考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式．
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
