g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；
所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生
分析解决问题的能力，属于中档题．
14．（5分）（2015?江苏）设向量
=（cos
，sin
+cos
）（k=0，1，2，…，12），
则
（ak?ak+1）的值为 ．
考数列的求和． 点：
专等差数列与等比数列；平面向量及应用． 题：
分利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可析得出． ： 解解：
答：
=+
=
+
==∴
++（ak?ak+1）
++
+
，
++
=++
++
++
+
++++
+…++
…+
=+0+0 =．
故答案为：9．
点本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期评性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ：
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值．
考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦． 专题：解三角形． 分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．
（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答：
解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，
所以BC=．
，则sinC=
=
=
，
（2）由正弦定理可得：∵AB＜BC，∴C为锐角，
则cosC===． =
．
因此sin2C=2sinCcosC=2×
点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解
题的关键．
16．（14分）（2015?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证：
（1）DE∥平面AA1C1C； （2）BC1⊥AB1．
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质． 专题：证明题；空间位置关系与距离． 分析： （1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；
（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1． 解答：证明： （1）根据题意，得；
E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC； 又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C；
（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC， 因为AC?平面ABC， 所以AC⊥CC1； 又因为AC⊥BC， CC1?平面BCC1B1， BC?平面BCC1B1， BC∩CC1=C，
所以AC⊥平面BCC1B1；
又因为BC1?平面平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC；
因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 所以BC1⊥平面B1AC；
又因为AB1?平面B1AC， 所以BC1⊥AB1． 点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象
能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目． 17．（14分）（2015?江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型． （1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t． ①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
考点：函数与方程的综合运用． 专题：综合题；导数的综合应用． 分析： （1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=
，
建立方程组，即可求a，b的值；
（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域； ②设g（t）=
，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l
的长度最短，并求出最短长度． 解答：解： （1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），
将其分别代入y=，得，
解得，
（2）①由（1）y=∴y′=﹣
，
（5≤x≤20），P（t，），
∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）
，0），B（0，
），
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（
∴f（t）==，t∈[5，20]；
②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，
t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，
g（t）是增函数，
从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值， ∴g（t）min=300， ∴f（t）min=15，
答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米． 点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正
确求导是关键．
18．（16分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）
的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关
系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
