揭 示 投 影 与 视 图 的 内 在 关 联
---对“物体的正投影称为物体的视图”的质疑
庐江县龙桥镇夹板中学 胡来明
2012年6月
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揭示投影与视图的内在关联
——对“物体的正投影称为物体的视图”的质疑
北京师范大学出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书》数学九年级上册第113页“议一议”中提出了这样一个问题：小亮认为，物体的主视图实际上就是该物体在某一平行光线下的投影（如下图），左视图和俯视图也是如此。你同意这样的看法吗？
从教材的编写意图看，上面提到的“某一平行光线”是指投影线与投影面垂直时的情景（正投影），这时物体的投影称为物体的视图，并且在教师教学用书中明确指出，物体的正投影称为物体的视图，小亮的看法是正确的。
但是从教学过程和学生讨论的结果看，笔者认为即使在正投影下物体的投影与视图仍然有较大的差别，不能简单地认为正投影就是物体的视图。现在我们从更深层、多角度思考这个问题。首先我们应该感悟到，不论是平行投影还是中心投影，都是表示物体在投射线下留在投影面的影子，而视图是人们可以根据三种视图（主视图、左视图、俯视图）勾画出物体的形状，两者存在表象性相同而实质性不同的东
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西。下面列举四例说明：
例1． 画出下面直四棱柱的三种视图
D A C B D＇ AC＇ B＇ 主视图 左视图 俯视图 如果对上面直四棱柱进行三个方向的正投影，正面投影和左边投影的形状仅是一个矩形。对比直四棱柱的三种视图与正投影的关系，其俯视图与投影相吻合；但主视图和左视图都要反映可见棱和不可见棱CC′和DD′,而它的投影却无法显示棱CC′和DD′的位置，两者之间有明显的不同。
例2． 画出下面几何体的三种视图
主视图 左视图 俯视图
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如果对这个几何体进行三个方向的正投影，正面投影和左边投影所得到的投影都只是一个矩形。比较上面几何体的三种视图与正投影的关系，不难看出，其俯视图与投影相吻合，但其主视图、左视图均与投影有较大的差别，从正面投影和左边投影得到的仅是视图的外边框的矩形，而其有关的棱和中间挖去的圆孔都无法在投影中显示出来。
例3． 画出下面几何体的三种视图（即在圆柱体内挖去一个小圆锥）
主视图 左视图 · 俯视图 如果对上面的几何体进行三个方向的正投影，其正面的投影和左边的投影都只是矩形，自上向下的投影仅是一个圆。比较上面几何体的三种视图与正投影的关系，其三种视图与正投影均不相符，且相差甚远。如果仅仅从投影角度考虑，上面几何体的三个方向的投影与圆柱体的三种视图是完全相同的，中间挖去的小圆锥无法显示。这说明物体的三个方向的正投影无法勾画出物体的原有形状，而三种视图则能勾画出物体的原来形状。
例4． 画出下面几何体的三种视图（在正方体的一角截去一棱锥）
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物体 主视图 左视图 俯视图 如果对上面的几何体进行三个方向的正投影，其正面投影、左边投影和自上向下的投影均为正方形。比较上面几何体的三种视图与正投影的关系，其三种视图与三个方向的正投影均不相符，如果仅从投影去勾画出物体，只能把上面的物体认为是正方体，而在其一角截去的四棱锥却无法体现。
综合上面四个例子说明，简单地认为“物体的正投影称为物体的视图”的说法值得商榷。那么物体的投影与视图之间究竟存在怎样的关系呢？笔者提出自己的几点看法。
1、北师大版的数学教科书七年级上册中“从不同的方向看”引出视图的概念，主要是考虑到学生年龄特征和认知水平而采用的一种形象性描述视图的方法，便于学生接受，有它的合情合理性。其实，从不同方向看物体实际是相当于中心投影，与视图有较大的差异，随着学习的深入，我们并不能认为“从不同的方向看”就是物体的视图，这样误认为视图就是我们用眼可以看到的物体一面的形状。
2、是平行投影而非正投影在投影面上的影子与视图也无关，因为随着平行光线射入的角度不同，其投影面影子的形状都发生改变。
3、当对物体进行正投影时，在投影面上得到的影子是物体与光
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揭示投影与视图的内在关联
