2013试题年全国高中数学联赛一试
2013年全国高中数学联赛一试试题
一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合A??2,0,1,3?，集合B??x?x?A,2?x中所有元素的和为
2.在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y上，满足OA?OB??4，F是抛物线的焦点，则StanA?OFA22?A?，则集合B
?4x?S?OFB=
3.在?ABC中，已知sinA?10sinB?sinC,cosA?10cosB?cosC，则的值为
4.已知正三棱锥P?ABC的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为
5.设a、b为实数，函数f(x)?ax?b满足：对任意x?[0,1]，有f(x)?1，则ab的最大值为
6.从1,2,???,20中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为 7.若实数x，y满足x?4是
8.已知数列?a?共有9项，其中an1y?2x?y，则x的取值范围
?a9?1，且对每个
i??1,2,???,8?均有aai?1i1????2,1,??2??，则这样的数列的个数为
二．解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列?x?满足
nSn?2Sn?1,n?2,3,???,这里Sn?x1?????xn.
证明：存在常数C?0,使得 x?C?2,n?1,2,???
nn10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为
A1,A2x2y2?2?1(a?b?0)2ab，
12分别为椭圆的左、右顶点，F,F分别为椭圆的
12左右焦点，P为椭圆上不同于A和A的任意一点.若平面中有两个点
QA1?PA1,QA2?PA2,RF1?PF1,RF2?PF2Q,R满足
,
试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明。
11.（本题满分20分）设函数f(x)?ax2?b，求所有
x,y的正实数对(a,b)，使得对任意实数
f(xy)?f(x?y)?f(x)f(y)
均有
2013年全国高中数学联合竞赛加试试题
一．（本题满分40分）如图，AB是圆?的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长，与圆?分别项交于点C、D.求证： EF?CD?AC?BD
(解题时请将图画在答卷纸上)
二．（本题满分40分）给定正整数u、v.数列?a?n的定义如下：a?a2m?am?u,??a2m?1?am?v.1?u?v，对整数m?1，
.证明：数列?S?中有无穷多
n记Sm?a1?a2?????am(m?1,2,???)项是完全平方数。
三．（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m,n?2为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，
则每个答对盖提的学生得x分，未答对的学生得0分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为pp1?p21?p2?????pn，求
k的最大可能值。
四．（本题满分50分）设n,k为大于1的整数，n?2.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除。
2013年全国高中数学联赛一试试题
