考研数学复习高等数学第一章函数与极限

第一篇 高等数学

第一章 函数与极限

2013考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：limsinx1?1,lim(1?)x?e x?0x??xx函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

2013考试要求

1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。 6. 掌握极限的性质及四则运算法则。

7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值

定理、介值定理），并会应用这些性质。

一、函数的类型

1．类 型：

111.1 有界函数，如：无界函数，如f?x??limxcos。y?x |x|?1，f?x??limxsin等等；

x??x??xx注意无界量与无穷大量的区别。

1.2 单调函数（x1?x2，f(x1)?或?f(x2)），注意单调函数一般指严格单调函数，注意它与单调不增函数或单调不减函数的区别。

1.3 周期函数，满足：f?x?T??f?x?，注意T一般指最小的正周期。 1.4 复合函数，一般形式为：y?f?g?x??，指自变量为函数的函数。

1.4 反函数，x, y存在一一映射的情况下，二者互为反函数，关于反函数具有下列重要性质：

★ 若x?g?y?为y?f?x?的反函数，则在某些场合，常把y?f?x?的反函数记为f?1?x?或

g?x?，此时已重新把x视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号。

★ 改变记号后，互为反函数的两个函数y?f?x?和y?g?x??f?1?x?的曲线关于直线y?x对称；没有改变记号，互为反函数的两个函数y?f?x?和x?f?1?y?的曲线重合。 ★y?f?x?与反函数g?x?的定义域与值域具有对偶性，即y?f?x?的定义域必为g?x?的值域，而y?f?x?的值域必为g?x?的定义域，并且 g?f?x???f?g?x???x 1.5 分段函数，如：

?n, n?x?n?1 f?x???x???n?1, n?1?x?n?2??x, 0?x?1f?x??x??x??? x??0, 2?

?x?1, 1?x?2?x2, x

?3?x, x?11.6 隐函数，如sinx2?ey。 1.7 奇偶函数与对称性

★ 若y?f?x?的图形有对称轴x?a，

a?x?t 则有f?a?x??f?a?x?????f?t??f?2a?t?，且f?a?x?为偶函数。

★ 若y?f?x?的图形有对称中心?a, 0?，

a?x?t 则有f?a?x???f?a?x?????f?t???f?2a?t?，且f?a?x?为基函数。

★ 若y?f?x?的图形有对称中心?a, 0?和?b, 0?，且a?b

f?t???f?2a?t?, f?t???f?2b?t?2a?t?u?f?u??f?u?2?b?a?? 则 ?f?2a?t??f?2b?t?????T?2?b?a?, 但不一定是最小的正周期。 可见，f?x?为周期为2?b?a?的周期函数。

2．两个特性： ①定义域与对应法则 ②自变量表示法的无关性；

3．表示方法：数学式（参数表示、方程表示、分段表示）；表格式；图形；文字叙述。还可 以是极限形式、导数、积分或级数等形式表示。

二、七个基本初等函数

①幂函数 y?x? [?是常数，x????, ??] ②指数函数 y?ax [a>0, a≠1，x????, ??] ③对数函数 y?logax [a>0, a≠1，x??0, ??]

y?sinx, x????,???; cosx,x????,???; tanx,x?k???④三角函数

cotx,x?k?; secx,x?k???2;2

; cscx,x?k?.???? ⑤ 反三角函数 y?arcsinx [x???1, 1?，y???, ?],

?22? y?arccosx [x???1, 1?，y??0, ??],

???? y?arctanx [x????, ??，y???, ?]

?22? y?arccotx [x????, ??，y??0, ??]

ex?e?xshx??arshx?lnx?x2?1; 2ex?e?x⑥ 双曲函数与反双曲函数 chx? ?archx?lnx?x2?12ex?e?x11?xthx?x?x?arthx?lne?e21?x????⑦ 常数函数 y?const.

初等函数：由7个初等函数经有限次四则运算和有限次复合并能用一个式子表达出来的函 数。

?x, 0?x?1非初等函数：如，f?x??x??x??? x??0, 2?

?x?1, 1?x?2七个基本初等函数的定义域与值域及其图形，读者必须掌握，是考试重点。

三、函数的连续与间断

1、函数的连续要求

① f(x)在xo的邻域内有定义； ② limf(x) 存在；

x?x0③ limf(x)?f(x0)

x?x02、函数的间断点

① f(x)在xo邻域无定义；

② limf(x) 不存在，包括f?(x0)和f?(x0)至少有一个不存在的情形；

x?x0③ lim?f(x0)

x?x0?不存在时的不连续点称为：fx或limfx● 单极限?第Ⅰ类间断点。分为以下两类： ?????xlim??x?x0??x0???f?(x0)?f?(x0)?f(x0) 可去间断点（通过改变函数在x0点的定义值）

f?(x0)?f?(x0) 跳跃间断点

?存在时的不连续点称为：第Ⅱ类间断点。分为以下两类： fx或limfx● 单极限??????xlim??x?x0??x0???f?(x0)和f?(x0)至少有一个不存在，包含振荡间断点y?sin1与无穷间断点。 x四、重要结论：

?x, x?01．分段函数不一定是非初等函数，如y?f?x????y?x2就是初等函数。

??x, x?02．周期函数定义域不一定是一个区间，如y?cosx?1的定义域为一系列离散的点；不一?1, x?rational 定有最少的周期，如y??没有最小正周期。

0, x?irrational?3．无穷小是指以0为极限的函数；无穷大是指函数的绝对值无限增大，不是一个函数。等

价无穷小是当x?0时二者比的极限为1，在求极限时，只有在因式情况下可作部分代换。 4．初等函数在其定义域内不一定连续，如y?cosx?1?x?2n?，没有一点存在邻域，故不连续。而初等函数在其定义子区间内一定连续。

五、分段函数的复合与连续性及反函数题型研究

?1, x?1?x【例1】 设g?x??e, f?x???0, x?1 求f?g?x??, g?f?x??。

???1, x?1解：一般方法：如求f?g?x??，先将f?x?的表达式及区间段中的x改写成g?x?，再解关于g?x?的不等式，确定x的取值范围（由g?x?的值域确定x所在区段）。函数代入定义域后变成值域，由该值域找到对应的定义域。

?1, g?x??1?ex?1?x?0??x f?g?x????0, g?x??1?e?1?x?0

?x???1, g?x??1?e?1?x?0 gf?x??e??f?x??e, x?1???1, x?1 ??1?e, x?1

2???1, x?1?2?x, x?1 ; g?x???【例2】 设 f?x??? 求f?g?x??, g?f?x??。

??2, x?1?0, x?1???1, g?x??1解： f?g?x????

??0, g?x??1??1, x?1 g?x??1只在x?1可能成立?2?x?1, x?1?x?1?f?g?x????

??0, x?122?2?f?x?, f?x??1 恒成立?1, x?1??2?2?f?x??? g?f?x????

2, x?1????2, f?x??1 不成立

2??x, x?01?x, x?0【例3】 设 f?x???x?x??? 求f?g?x??, g?f?x??。 ; g?x????x0, x?02???e, x?0