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数学归纳法及应用举例
一、知识要点
数学归纳法是一种很重要的证明方法，它通过有限步实现了无限的验证.数学归纳法的原理是：
设P(n)是一个关于自然数n(n≥n0)的命题.如果 (1)当n=n0时，命题成立；
*
(2)假设n=k(k≥n0，k∈N)时，命题成立，那么当n=k+1时，命题也成立. 那么，命题P(n)对任意自然数n(n≥n0)都成立.
从原理可以看出，(2)中n=k时命题成立的正确性并没有证明，而只是关注了从n=k推出n=k+1的递推关系成立.数学归纳法的原理也确定了用归纳法证明命题的步骤： (1)验证当n=n0时，命题成立；
*
(2)假设n=k(k≥n0，k∈N)时，命题成立，去证当n=k+1时，命题也成立.
二、典型例题
例1、（2006年江西高考·理科）已知数列｛an｝满足：a1＝
3，且an＝23nan－1（n?2，n?N?）
2an－1＋n－1（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1?a2……an?2?n！ 解：（1）将条件变为：1－
n1n－1n1－）＝（，因此｛1－｝为一个等比数列，其
an－1an3ann?3n11n11首项为1－＝，公比，从而1－＝n，据此得an＝n（n?1）…………1?
a13an33－13（2）证：据1?得，a1?a2 …an＝
n！
111（1－）（?1－2）…（1－n）333为证a1?a2……an?2?n！ 只要证n?N?时有（1－）（?1－13111?…………2? ）…（1－）323n2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n?N?，有
111111（1－）（?1－2）…（1－n）?1－（＋2＋…＋n）…………3?
333333用数学归纳法证明3?式： （i） n＝1时，3?式显然成立， （ii） 设n＝k时，3?式成立，
（1－）（?1－即
1311111）…（1－）＋＋…＋?1－（） 2k2k33333则当n＝k＋1时，
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11111111?〔1－（＋2＋…＋k）〕…（1－k＋1） （1－）（?1－2）…（1－k）（?1－k＋1）3333333311111111＝1－（＋2＋…＋k）－k＋1＋k＋1（＋2＋…＋k）
333333331111?1－（＋2＋…＋k＋k＋1）即当n＝k＋1时，3?式也成立.
3333故对一切n?N?，3?式都成立.
11n〔1－（）〕1111113 利用3?得，?1－（＋2＋…＋n）＝1－3（1－）（?1－2）…（1－n）13333331－311n111n1＝1－〔? 1－（）〕＝＋（）232232故2?式成立，从而结论成立.
例2．试证Sn=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除. 证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除. ②假设，n=k时，Sk能被9整除，则Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=Sk+(k+3)3-k3=Sk+9(k3+3k+3) 由归纳假设知Sk+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立. 综上所述：命题成立.
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除.
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分.
证明：设适合条件的n个平面把空间分成pn个部分，∴pn=n2-n+2 ①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立. ②假设当n=k时，命题成立，即满足命题条件的k个平面把空间分成pk=k2-k+2个部分， 那么当n=k+1时，即如果再有一个平面a适合条件，那么，在平面α上必有k条交线， ∴平面α被分成2k个部分，∴pk+1=pk+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. ∴当n=k+1时，pn=n2-n+2成立.
综上①②可知对任何n∈N′，命题成立.
点评：几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等.
例4．若不等式
自然数a的最大值，并证明你的结论.
对一切正自然数n都成立，求
证明：n=1时，以取a=25，
，即，所以a<26，而a∈N，所
下面用数学归纳法证明： (1) n=1时，已证.
.
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(2) 假设当n=k时，有： 则当n=k+1时，有
，
所以①②知对一切n∈N′ 都有： .
小结：①证明时，两个步骤，一个都不能少.其中，第一步是递推的基础，第二步则是证明了递推关系成立.
②用归纳法证明命题，格式很重要，通常可以简记为“两步三结论”.两步是指证明的两步(1)(奠定递推基础)和(2)(证明递推关系)；三结论分别是指：步骤(1)中最后要指出当n=n0时命题成立，步骤(2)最后要指出当n=k+1时命题成立，证明的最后要给出一个结论“根据(1)(2)可知，命题对任意n∈N*(n≥n0)都成立”.
③归纳——猜想——证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的.
④数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等.
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人教版数学备课资料数学归纳法及应用举例
