【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG 从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上 作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值 作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形， 则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝ 故答案为．
12．（2024?北仑区模拟）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边BC上的一个动点，EG＝EF，且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值为 2 ．
【解析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B， 此时CE的长就是GB+GC的最小值； ∵MN∥AD， ∴HM＝AE，
∵HB⊥HM，AB＝4，∠A＝60°， ∴MB＝2，∠HMB＝60°， ∴HM＝1， ∴AE'＝2，
∴E点与E'点重合， ∵∠AEB＝∠MHB＝90°， ∴∠CBE＝90°，
在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝4， ∴EC＝2， 故答案为2；
13．（2024?成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到
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△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．
【解析】∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'， ∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形， ∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值， ∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′， 则CE的长度即为A'C+B'C的最小值， ∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1， ∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝， ∴DE＝1， ∴DE＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°， ∴∠E＝∠DCE＝30°， ∴CE＝2×
CD＝
．
故答案为：． 14．（2024?广元）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是 6+3 ．
【解析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，
则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM， ∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6， ∴OP＝OA＝6， ∴OM＝
OA＝
×6＝3
，
，
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∴PM＝OP+OM＝6+3，
∴则点P到AC距离的最大值是6+3
故答案为：6+3． 15．（2024?眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为 2 ．
【解析】连接OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4， ∴AB＝OA＝8， ∴OP＝∴PQ＝故答案为2
． ＝4，
＝2
．
16．（2024?通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是
﹣1 ．
【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM， ∵AM＝AD，AD＝CD＝3 ∴AM＝1，MD＝2 ∵CD∥AB，
∴∠HDM＝∠A＝60° ∴HD＝MD＝1，HM＝∴CH＝4 ∴MC＝
＝
HD＝
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN， ∴AM＝A'M＝1，
∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上， ∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值 ∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1 故答案为：﹣1
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17（2024?营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 8 ．
【解析】过点A作AM⊥BC于M， ∵BD＝DC＝2， ∴DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝2+4＝6， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6， ∵AM⊥BC，
∴BM＝BC＝×6＝3， ∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1， 在Rt△ABM中，AM＝
＝
＝3
，
当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD． 此时AE取最小值， 在Rt△ADM中，AD＝＝∴在Rt△ADG中，AG＝
＝
＝2，
＝8；
故答案为：8． 18．（2024?舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 （24﹣12） cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为 （24+36﹣12） cm2．
【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45° ∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M
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∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F' ∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM ∴CD'平分∠ACM
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6如图，连接BD'，AD'，
）cm
）＝（24﹣12
）cm
∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C
+（12﹣4
）×D'N
∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值， ∴S△AD'B最大值＝24
+（12﹣4
）×6
＝（24
+36﹣12）cm2．
故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）
19．（2024?十堰）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ 6 ．
【解析】作DH⊥AE于H，如图，
∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上， ∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF， 在Rt△ABF中，BF＝＝3， ∵∠EAF＝90°，
∴∠BAF+∠BAH＝90°， ∵∠DAH+∠BAH＝90°， ∴∠DAH＝∠BAF， 在△ADH和△ABF中
，
∴△ADH≌△ABF（AAS），
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2024年中考数学二轮核心考点讲解第03讲最值问题专题解析版
