课时跟踪检测（二） 命题及其关系、充分条件与必要条件
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负
数”．
2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”
的( )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件
C．充要条件
解析：选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形
ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四
边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
3．命题“若x＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝4，则x＋3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠4，则x＋3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠4，则x＋3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝4，则x＋3x－4＝0”为假命题
解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x＋3x－4＝0，所以x＝－4或
1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”
的( )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件
C．充要条件
2
2222
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解析：选C 依题意，若A?C，则?U C??UA，若B??UC，可得A∩B＝?；若A∩B＝?，
不妨令C＝A，显然满足A?C，B??UC，故满足条件的集合C是存在的．
5．命题p：“若x<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为( )
B．p真q假 D．p假q假
A．p真q真 C．p假q真
解析：选B q：若x<1，则x<1.
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∵p：x<1，则－1 当x<1时，x<1不一定成立，∴q假，故选B. 6．(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 ＋S6>2S5”的( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A．充分不必要条件 C．充分必要条件 2 2 解析：选C 因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝ 10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0?S4＋S6>2S5. 7．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件． 解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0 ＜A＜π，0 答案：充要 8．已知p(x)：x＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围 为________． 解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3. 又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8. 故实数m的取值范围是[3,8)． 答案：[3,8) 9．下列命题： ①“a>b”是“a>b”的必要条件； ②“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件； ③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件． 其中真命题的是________(填序号)． 解析：①a>b2 22 2 2 a2>b2，且a2>b2 a>b，故①不正确； ②a>b?|a|>|b|，故②正确； 2 2 ③a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故③正确． 答案：②③ 10．(2024·德州模拟)下列命题中为真命题的序号是________． 1 ①若x≠0，则x＋≥2； x ②命题：若x＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x≠1； ③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x<－1，则x－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x－2x－3≤0”．1 解析：当x<0时，x＋≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a＝ x 2 2 2 2 2 / 5 ±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题 的定义知④正确．故填②④. 答案：②④ B级——中档题目练通抓牢 1．(2024·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x＞1，则x＞1”的否命题 B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题 1 D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题 x 解析：选B 对于A，命题“若x＞1，则x＞1”的否命题为“若x≤1，则x≤1”，易知当x＝－2时，x＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x＋x－2＝0，故为假命11 题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则≤1”，易知为假命 xx 题，故选B. 2．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 A．充要条件 C．必要不充分条件 2 2 2 2 2 2 2 2 解析：选C 设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是 “x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件． 3．若x>5是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为( ) B．[5，＋∞) D．(－∞，5] A．(5，＋∞) C．(－∞，5) 解析：选D 由x>5是x>a的充分条件知，{x|x>5}?{x|x>a}，∴a≤5，故选D.4．在命题“若m＞－n，则m＞n”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是 ________． 解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但2<3，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)>(－2)，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题 也是假命题．故假命题的个数为3. 答案：3 5．(2024·武汉调研)已知“命题p：(x－m)＞3(x－m)”是“命题q：x＋3x－4＜0” 成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________． 2 2 2 2 2 2 2 2 3 / 5 解析：命题p：x＞m＋3或x＜m， 命题q：－4＜x＜1. 因为p是q成立的必要不充分条件， 所以m＋3≤－4或m≥1， 故m≤－7或m≥1. 答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞) 6．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x＋ax＋b≤0有非空解集，则 a≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a≥4b，则关于x的不等式x＋ax＋b≤0有非空解 集，为真命题． (2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x＋ax＋b≤0没有非空解集，则 a<4b，为真命题． (3)逆否命题：已知a，b∈R，若a<4b，则关于x的不等式x＋ax＋b≤0没有非空解 集，为真命题． 7．已知集合A＝{x|x－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}． (1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝?，求a的取值范围． 解：A＝{x|x－6x＋8<0}＝{x|2 B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}． (1)由题意知A?B，当a＝0时，B＝?，不合题意． 当a>0时，B＝{x|a ??a≤2， 则? ?3a≥4，? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 解得≤a≤2. 3 当a<0时，B＝{x|3a ?3a≤2， 则? ?a≥4， 无解． ?4? 综上，a的取值范围为?，2?.?3? (2)要满足A∩B＝?， 当a>0时，B＝{x|a 2 则a≥4或3a≤2，即0 3 当a<0时，B＝{x|3a 4 / 5 4 则a≤2或a≥，即a<0. 3 当a＝0时，B＝?，A∩B＝?. 2?? 综上，a的取值范围为?－∞，?∪[4，＋∞)．3?? C级——重难题目自主选做 1 1．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的( ) x B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A．充分不必要条件 C．充要条件 解析：选C f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sin x－1?111? ，f(－x)＝sin(－x)－＝－sin x＋＝－?sin x－?＝－f(x)，故f(x)为奇函数；x?x－xx?1 反之，当f(x)＝sin x－＋a为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝ xsin(－x)－ 111＋a＋sin x－＋a＝2a，故a＝0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－－xxx ＋a为奇函数”的充要条件，故选C. 1x2．(2024·南山模拟)已知条件p：<2＜16，条件q：(x＋2)·(x＋a)＜0，若p是q4 的充分不必要条件，则a的取值范围为( ) B．(－∞，－4) D．(4，＋∞) A．[－4，＋∞) C．(－∞，－4] 1x 解析：选B 由＜2＜16，得－2＜x＜4， 4 即p：－2＜x＜4. 方程(x＋2)(x＋a)＝0的两个根分别为－a，－2. ①若－a＞－2，即a＜2，则条件q：(x＋2)(x＋a)＜0等价于－2＜x＜－a，由p是q 的充分不必要条件可得－a＞4，则a＜－4； ②若－a＝－2，即a＝2，则(x＋2)(x＋a)＜0无解，不符合题意； ③若－a＜－2，即a＞2，则q：(x＋2)(x＋a)＜0等价于－a＜x＜－2，不符合题意． 综上，可得a的取值范围为(－∞，－4)，故选B. 5 / 5
高考数学一轮复习课时跟踪检测(二)命题及其关系、充分条件与必要条件理(普通高中)
