2024-2024年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（四）
23.已知函数f?x??2332x?x?logax（a?0且a?1）． 32（Ⅰ）若f(x)为定义域上的增函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）令a?e，设函数g?x??f?x??证：x1?x2?2?6．
24.已知函数f(x)=ex-x2-ax. (1)x?R时，证明：e?x?1；
(2)当a=2时，直线y=kx+1和曲线y=f(x)切于点A(m,n)(m<1)，求实数k的值； (3)当0?x?1时，不等式f?x??0恒成立，求实数a的取值范围.
25.已知函数f(x)=-alnx+x-(1)求实数a的取值范围；
(2)记f(x)的两个不同的极值点分别为x1,x2，若不等式f(x1)+f(x2)>l(x1+x2)恒成立，求实数l的取值范围.
223x?4lnx?6x，且g?x1??g?x2??0，求3xa(a为常数)有两个不同的极值点. x 1
26.已知函数f?x??ax?1?lnx（a?R）. （1）讨论函数f?x?极值点的个数，并说明理由；
（2）若?x?1，xf?x??ax2?ax?a恒成立，求a的最大整数值.
27.已知函数f?x??x?2x?1,g?x??2aln?x?1??a?R?.
2（1）求函数h?x??f?x??g?x?的极值；
（2）当a?0时，若存在实数k,m使得不等式g?x??kx?m?f?x?恒成立，求实数a的取值范围.
28.设y?f?x?是二次函数，方程f?x??0有两个相等的实根，且f??x??2x?2. （1）求y?f?x?的表达式；
（2）若直线x??t?0?t?1?，把y?f?x?的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
2
29.已知函数f?x??x?ax?1lnx（a?R）. 2（1）若曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线经过点?2,3?，求a的值； （2）若f?x?在区间????1?,1?上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求?4?a的取值范围；
（3）若当x?0时，f?x??0恒成立，求a的取值范围.
30.已知函数f(x)=lnx+a，g(x)=b-x(a,b?R). x(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在点1,f(1)处的切线方程相同，求实数a,b的值； (2)若f?x??g?x?恒成立，求证：当a?2时，b?1.
31.f?x??e?ax?2，其中e是自然对数的底数，a?R.
x()（1）求函数f?x?的单调递增区间； （2）若k为整数，a?1，且当x?0时，的导函数，求k的最大值.
k?xf??x??1恒成立，其中f??x?为f?x?x?1 3
32.已知f（x）=2xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．
1?x33.已知数列{xn}按如下方式构成：xn∈（0，1）（n∈N*），函数f（x）=ln（1?x）在点
（xn，f（xn））处的切线与x轴交点的横坐标为xn+1 （Ⅰ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＞2x （Ⅱ）证明：xn+1＜xn3
（Ⅲ）若x1∈（0，a），a∈（0，1），求证：对任意的正整数m，都有logxna+logxn?1a+…+logxn?ma＜
11?（）n﹣2（n∈N*） 23?x?x2,x?[0,1]??5f(x?1),x?[1,3]??5?34.已知函数f（x）=
（Ⅰ）求f（
5）及x∈[2，3]时函数f（x）的解析式 2（Ⅱ）若f（x）≤
k对任意x∈（0，3]恒成立，求实数k的最小值． x 4
a?1??f(x)?a(x?2)?x??a??，其中a?0． 35.已知函数
（Ⅰ）若a?1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值． （Ⅱ）解关于x的不等式f(x)?0．
36.若实数x，y，m满足
x?m?y?m，则称x比y靠近m．
（Ⅰ）若x?1比?x靠近?1，求实数x有取值范围．
（Ⅱ）（i）对x?0，比较ln(1?x)和x哪一个更靠近0，并说明理由． （ii）已知函数?an?的通项公式为an?1?21?n，证明：a1a2a3Lan?2e．
x2f(x)?e?ax?(a?e?1)x?1（e是自然对数的底数，a为常数）． 37.已知函数
1（1）若函数g(x)?f(x)?x?f?(x)，在区间[1,+∞)上单调递减，求a的取值范围．
2（2）当a?(e?2,1)时，判断函数f(x)在(0,1)上是否有零点，并说明理由．
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