降雨、水位中的数学
在气象学中,经常碰到测量降雨量,预报台风、沙暴、寒流中心运动规律,预测水位上涨等问题.这类问题常转化为数学问题来求解,现举例说明.
一、测量降雨量
例1 降雨量是指水平地面单位面积上所降雨水的深度.现用上口直径为32cm,底面直径为24cm,深为35cm的圆台形水桶来测量降雨量.如果在一次降雨过程中,此桶中的雨水深为桶深的四分之一,则此次降雨量为多少mm? (精确到1 mm)
分析:要求降雨量,只要求出单位面积上所降雨水的深度,而单位面积上雨水的深度可通过等积来求解.
解:由题意知,圆台形水桶的水深为O1O2=35/4cm,又因为A1B1/A2B1=AB/A2B,所以A1B1=AB·A2B1/A2B=(16-12)×35/4/35=1,所以,水面半径O1A1=12+1=13(cm),故桶中雨水的体积是V水=13π(122+12×13+132)×354=16415512π(cm).因为,水桶上口的面积为S上=π·162=256π(cm2),设每1cm2的降雨量是xcm,则x=V水S上=16415π12·1256π≈5·3(cm). 所以,降雨量约为53mm.
说明:此题除了要明确降雨量的概念外,还需要深刻理解题意,得出降雨量的计算方法.为何用盛得雨水的体积除以桶口面积,而不是除以水面面积或者其他面积?这里的分析、推理有一定的难度.其实在降雨过程中,雨水是“落入”水桶口里,因此盛得雨水体积的多少只与水桶口的大小有关,与桶本身的形状无关.由此不难理解上述计算降雨量的方法.
三、预测水位上涨
例3 某地有一座水库,修建时水库的最大容水量设计为128000 m3.在山洪暴发时,预测注入水库的水量Sn(单位:m3)与天数n(n∈N, n≤10)的关系式是Sn= 5000·n(n+24).此水库原有水量为80000 m3,泄水闸每天泄水量为4000 m3.若山洪暴发的第一天就打开泄水闸,问:这10天中堤坝有没有危险? (水库水量超过最大量时堤坝就会发生危险)
分析:这是一个关于无理不等式的建模素材,可建立如下的数学模型:5000n(n+24)-4000n>128000-80000,解得n>8,即水库堤坝在第9天开始会发生危险.
例4 由于洪峰来临,某抛物线型拱桥下游8公里处有一救援船只接到命令,要求立即到桥的上游执行任务,并告知,此时水流速度为100米/分,拱桥水面跨度为30米,水面以上拱高10米,且桥下水面上涨的高度与时间t(分钟)的平方成正比,比例系数为11000.已知救援船只浮出水面部分的宽、高各3米,问该船至少以多大的速度前进,才能顺利通过.(水速视为匀速)
分析:要使船能顺利通过,只要桥拱至水面3米处的宽度大于或等
于船的宽度即可.
解:建立如图3所示的直角坐标系,设抛物线型拱桥的方程为y=-ax2(a>0).将点A(302,-10)代入抛物线方程,可得a=43.
故抛物线的方程为y=-43x2.
又设船经t分钟赶至桥洞时,船的宽度正好等于高出水面3米处桥拱的跨度,此时船恰好能通过桥.因此,桥下水面升高11000t2米,离水面3米处桥拱曲线上点B的坐标为(32,-10+3+11000t2),代入抛物线方程,可得-7+11000t2=-43×(32)2,即t=20 10(分钟),
所以,要使船能顺利通过,必须所用的时间小于或等于20 10分钟.从而设船的速度为v(米/分),则8000v-100≤20 10,即v≥800020 10+100=226·5(米/分),所以,船的速度至少为226·5米/分才能顺利通过.
说明:解此题关键是先利用抛物线方程求出其时间t,再解关于速度v的不等式.
二、台风预报
例2 据气象台预报,在S岛正东300 km的A处有一个台风中心形成,并以每小时40km的速度向西北方向移动,在距台风中心250km以内的地区将受其影响.问:从现在起经过多长的时间台风将影响S岛,并持续多长时间?
分析:台风中心在运动,它的运动规律是什么?我们可以建立一个坐标系来研究这一问题.视S岛为原点,如图2所示,建立平面直角坐标系xSy,则A处的坐标为(300,0),圆S的方程为x2+y2=2502.易知当台风中心在圆S上或内部时,台风将影响S岛,又知台风中心以每小时40 km的速度向西北方向移动,于是可设台风中心所在射线l的参数方程为x=300+40tcos135°,y=40tsin135°(t≥0),其中,参数t的物理意义是时间(小时).于是问题转化为“当时间t在何范围内,台风中心在圆S的内部或边界上”.解:设台风中心运动的轨迹———射线l的参数方程为x=300+40tcos135°,y=40tsin135°(t≥0),即台风中心是(300-20 2t,20 2t).所以,台风中心在圆上或圆内的充要条件是(300-20 2t)2+(20 2t)2≤2502,解得1·99≤t≤8·61.
所以大约2小时后,S岛将受台风影响,并持续约6·6小时.说明:本题对于研究台风、沙暴、寒流中心运动规律,指导和预防自然灾害的影响有现实意义.
气象学中的几例数学应用问题
