圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第一部分 高等数学
第1章 函数、极限、连续
1.1 考点归纳
一、函数的定义与性质 1．函数概念
如果变量x在数集D中任取一个值，变量y按某个对应法则f总有唯一确定的值与它对应，则称y是x的函数，记作y＝f（x），x?D．其中x称为自变量，y称为因变量，D
｛｜yy=f(x),x?D｝称为定义域，集合W=称为函数y＝f（x）的值域．
2．函数的特性 （1）函数的有界性
｜f(x｜)?M对于任意x?D都成立，则称f（x）在D上有界，亦若存在M?0，使得
称f（x）是D上的有界函数，否则称为无界．
（2）函数的单调性
设y＝f（x）在区间（a，b）内有定义，x1，x2为（a，b）内任意两点，当x1?x2时，总有f（x1）＜f（x2），则称f（x）在区间（a，b）内为单调增加的函数；当x1?x2时，总有f（x1）＞f（x2），则称f（x）在区间（a，b）内为单调减少的函数．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．
（3）函数的奇偶性
设函数f（x）的定义域关于原点对称，如果对于任意x?D，有f(?x)=f(x)，则称
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 f（x）是偶函数；若f(?x)=?f(x)，则称f(x)是奇函数．偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于坐标原点中心对称．
（4）函数的周期性
若存在一个非零常数T，使得函数y=f(x)在其定义域内有f(x+T)=f(x)成立，则称函数y=f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期．
3．复合函数与初等函数 （1）反函数
设函数y＝f（x），x?D的值域为W，且x与y是一一对应的，对任何y?W，按照对应法则f?1总有唯一确定的x与之对应，称函数x=f?1(y)为y=f(x)的反函数，
y=f(x)又称为直接函数．习惯上用y表示函数，所以反函数可写成y=f?1(x)，x?W，
它们的图形关于y＝x对称．
（2）基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数． （3）复合函数
设函数y＝f（u）的定义域为Df，函数u＝g（x）的定义域为Dg，且其值域RgìDf，则函数y=fg(x),x?Dg称为由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）构成的复合函数，它的定义域为Dg，变量u称为中间变量．
（4）隐函数
形如Ｆ（x,y）＝０的方程称为隐函数，其中，对于区间上的任一x，总有满足该方程的唯一的ｙ存在．
（5）初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所构成的并能用一个式子
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[] 圣才电子书 www.100xuexi.com表示的函数称为初等函数．
二、数列与函数的极限 1．数列极限的定义
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 limxn=a?对任意??0，存在正整数N，当n＞N时，恒有xn?a??，称常数a
n→?是数列{xn}的极限，又称数列{xn}收敛于a．
2．数列极限的性质
（1）有界性：收敛的数列必定有界． （2）唯一性：每个收敛的数列只有一个极限． 3．函数极限的定义 （1）定义1
limf(x)=A?对任意??0，存在正数X，当x?X时，恒有f(x)?A??
x→?在上述定义中，将x?X改写成x?X(或x??X),便得到x→+?(或x→??)时函数的极限．
（2）定义2
x→x0limf(x)=A?对任意??0，存在正数δ，当0?x?x0??时，恒有f(x)?A??0
在上述定义中，将0?x?x0??改写成0?x0?x??或0?x?x0??便得到
()x→x0时的左（右）极限的定义．左极限记为lim?f(x)=f(x0?0)，右极限记为
x→x0x→x0+limf(x)=f(x0+0)．
4．函数极限的性质
（1）函数f（x）极限存在的充分必要条件是f（x）的左、右极限均存在并且相等． （2）若函数f（x）极限存在，则极限值是唯一的．
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全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学考点归纳与典型题(含历年真题)详解-函数、极限、连续(圣才出品
