华师一附中2015年高中招生考试
数学测试题详解
考试时间:80分钟 卷面满分:150分
一.选择题（6分×6=36分）
1,如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式a?a?b?c?2ac?a可以化简为
222A.?a?b?cC.?a?b?c【解析】由图知
B.a?b?c
D.a?b?cb?c?a?0,
故a?a??a,a?b???a?b?,c?2ac?a?c?a?a?c
222a2?a?b?c2?2ac?a2??a??a?b???a?c??a?b?c,选D.
2.反比例函数y??4的图象与直线y??kx?b交于A??1,m?,B?n,1?x15213 2两点,则△OAB的面积为
A.112B.4C.D.【解析】（补形）
xy??4.A??1,m?代入:-m??4,?m?4;
B?n,1?代入:n??4.故有A（－1,4）,B（－4,1）.
作AE⊥y轴于E,BD⊥x轴于D.可知： △AOE≌△BOD.且S?AOE?S?BOD?1?1?4?2. 2延长EA,DB交于C,则四边形CDOE是边长为 4的正方形,且SCDOE?42?16,△ABC是腰长为3的等腰直角三角形,且
19S?ABC??32?.
22于是△OAB的面积为S?ABC?16?2?2?915? 223223.设x1,x2是一元二次方程x?x?3?0的两根,则x1?4x2?15等于
A.－4 B.8 C.6 D.0 【解析】（降次）由韦达定理:x1?x2??1?x1??1?x2.
2x12?x1?3,x2?x2?3
32?x1?4x2?15?x1?3?x1??4??1?x1??15?3x1?x12?4?1?2x1?x12??152??5?x12?x1?3??4??4,故选A.
4.已知a,b,c分别是?ABC的三边长,且满足2a?2b?c?2ac?2bc,则△ABC是 A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
注:原题条件不完整（是代数式而不是条件等式）,故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调整为: 已知a,b,c分别是?ABC的三边长,且满足2a?2b?c?2ac?2bc?0,则△ABC是?. 【解析】由条件得: 4a?4b?2c?4ac?4bc?0,
444222244422224442222即?2a?c222???2b2?c22??0,?c2?2a2?2b2,或a?b且a2?b2?c2.
故△ABC是等腰直角三角形,选B.
5.在一节3数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的 最小直径为（单位：mm）
A.802B.4010C.2517D.100
【解析】当3个正方形按如图排列时,其外接圆直径
最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD的外接圆O,这里AB∥CD且CD=40,AB=80.
设此等腰梯形的对称轴交AB于M,交CD于N,则MN=80. ∵AB>CD,∴OM △DON中,r?20??40?x?2（1）－（2）：1200?160x?0,?x?15,代入（2） 2902510625625?1725r2?400???,?r?17. 4442故所求最小圆的直径为2r?257,故选C. 6.如图,△ABC内接于圆O,BC=36,∠A=60°,点D为BC上一动点,BE⊥直线OD于E,当点D由B点沿BC运动到点C时,点E经过的路线长为 A.123?B.83?C.273D.54 【解析】（轨迹法）如解图,连结OB,分别在 BC上取B,D1,D2,D3,C,其中OD2?BC,则相应的动点 依次为B,E1,E2,E3,N. ?BE1O??BE2O??BE3O??BNO?90?.故点E的轨迹是OB 为直径的优弧BE2N. 已知BC=36,∴BE2?18.?BOE2是含30°角的直角三角形,∴OB?123. 设M为OB的中点（优弧圆心）,连MN.则圆M的半径MB=63. 注意到∠BOC=120°,∴∠BON=60°,∠BMN=120°, 优弧BE2N之长为圆M周长的 22,?lBEN??2??63?83?.,故选B. 233二.填空题（7×7=49分） 7.方程x?16?4x?x?1?的所有根的和为 3【解析1】x?4x?4x?16?0.根据广义韦达定理,此方程3根之和为4. 即?x1?x2?x3??32??b?,这里a?1,b??4? a?【解析2】由原方程得:?x?4??x?2??x?2??0,?x1?4,x2??2, x3?2.x1?x2?x3?4. 8.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,随机地从这5瓶饮料中取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为 【解析】（正繁则反）由于从这5瓶饮料中任取2瓶,没有过期饮料的概率为 332,故取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为1?? 5552a?a?1无解,则a的值是 9.关于x的方程 x?1【解析】由原方程得:2a??a?1??x?1? ?1? 关于x的方程（1）只有唯一解x?1,代入（1）得a?0,此时原方程无解; 又在方程（1）中令a?1,得a?0.矛盾.此时方程（1）无解,从而原方程无解. 故若原方程无解,则必a?0或1. 10.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶,1小时后,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件（取文件时间不计）后再从甲地开往乙地,结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶速度为x（h）,两车之间的距离为y（km）,y与x的函数图象如图所示,则a? 【解析】慢车12.5小时走完全程, 12.5x?1000?x?80?km? 设快车速度为t（h） ∵1小时后两车相距800km,即 1小时两车共行200km, ∴t=120km（h） ∵a小时后两车相遇,此时慢车走80akm,快车走120（a－1）km,故有: 80a?120?a?1??1000?200a?1120,?a?5.6?h? 11.已知a?4,当1?x?3时,函数y?2x?3ax?4的最小值为－23,则a= 233??9??【解析】原式配方得:y?2?x?a???4?a?,抛物线开口向上且对称轴为x?a.当 44??8??23a?4时,a?3,故当1?x?3时,y随x增大而减小.故当x=3时有: 42?32?3a?3?4??23?9a?45,?a?5. 12.如图,在单位为1的正方形的网格纸上,?A1A2A3,?A3A4A5,?A5A6A7,,都是斜边在x轴上, 且斜边长分别为2,4,6,?的等腰直角三角形.若?A1A2A3的顶点分别为A1?2,0?,A2?1,-1?,A3?0,0?,则依图中的规律,A2015的坐标为 【解析】注意到点A1,A3,A5,,A2n?1全在x轴上,设其横坐标依次为x1,x3,x5,,x2015.. 继续分析.点A4n?1都在原点右边,其横坐标取正值,点A4n?1都在原点左边（其中A3为原点）,其横坐标取0或负值（其中仅A3横坐标为0）. ∵2015=4×504－1,故A2015必在原点左边,其横坐标必为负值. 易求x3?x4?1?1?0,x7?x4?2?1?0???2??1,x11?x4?3?1?0???2??2??4, x2015?x4?504?1?0???2??503??1006,故所求点A的坐标为:A2015??1006,0?. 13.有一张矩形风景画,长为90cm,宽为60cm,现对该风景画进行装裱,得到一个新的矩形,要求其长,宽之比与原风景画的长,宽之比相同,且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为acm,左,右边衬都为bcm,那么ab? 【解析】依题意有: 90?2a9032a3????（据等比定理） 60?2b6022b2故2a?3b?1? 144 100又:?90?2a??60?2b??90?60??120a?180b?4ab?54?44?2? 22（1）代入（2）：60?3b?180b?6b?54?44?b?60b?396?0. 解得：b?6或b??66舍,从而a?9,?ab?54. 三.解答题 14.（14分）已知m,n是方程x?3x?1?0的两根, （1）求?m?5?2????16?2m?102?的值; ??5?m?3?mmm3n3（2）求的值 ?nm【解析】（1）∵m?3m?1?0,故 2
华师大一附中2015年自主招生数学试题(含详解)综述
