第二章 平面向量章末复习
教学目标
重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用. 难点：用向量法解决平面儿何问题时，如何建立平面儿何与平面向量Z间的联系.
能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运 算能力和
解决实际问题的能力.
教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.
易错点：(1)忽视两向暈垂直的概念是针对两非零向暈的而致错；
(2) 对两向量夹角的定义理解不清致错；
(3) 把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错； (4) 混淆点的坐标与向量的坐标致错.
学法与教具
1. 学法：讲授法、讨论法. 2.教具：投影仪. 一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1. 平面向量的数量积 (1) 数量积的定义
己知两个非零向量d与〃，我们把数量\\a\\\\b\\cos0叫做Q与“的数量积(inner product)(或内积)，记作 a b ,即=问同cos&,其中&是a与“的夹角.
(2) 数量积的儿何意义
数量积a 〃等于a的长度问与〃在a方向上的投影同cos&的乘积，或等于〃的长度同与a在〃方向 上的投影
|a| cos 6的乘积.
(3) 数量积的性质 ① a 丄boa b = 0 .
② 当a与b同向时，a方=问同；当a与方反向时，a = -|a||/>|；特别地，a a = cT ,所以 a = Ja a .通常a a
记作a.2③\\ab\\<\\a\\\\b\\
(4)数量积的运算律
已知向量a、b c和实数2,贝ij：
②(加)怖
a (Ab):
③(a + />)c 二 ac +方 c.
(5) 数量积的坐标表示
已知两个非零向量a = (x1,>,1), b = (x2,y2),则 a b = x{x2 + yxy2. 由此可得:
①怵* + )']2或问二問+)「；
② a 丄〃 u> xtx2 + )[% = 0 ；
③设&为a、 b的夹角，则cos0 =
ab 召■竺+少2
2. 平面几何中的向量方法
用向量法解决平面儿何问题的“三步曲”：
(1) 建立平而几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题; (2) 通过向量运算，研究儿何元素Z间的关系，如距离、夹角等问题； (3) 把运算结果“翻译”成儿何关系.
在上述步骤屮，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路： 第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系.
3. 向量法在物理中的应用
向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的 功.因此，用向量可以解决一些物理问题.向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题， 然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象.用向量法解决物理问题吋，应作出 相应的图形，以帮助我们建立数学模型.
三、【范例导航】
例 1 (2012?天津)在厶ABC '|1, ZA=90°, AB=1 , AC=2?设点 P, Q 满足 AP = AAB ,
AQ = (l — a)ACMwR^BQCP = —2,则2= _________________ .
2 2 【分析】由题意可知
ABAC = O,根据BQ CP = (A-1)AC -AAB =-2,解方程可
以求得久的
值.
【解答】如图，设AB = b , AC = c,则b =1, c =2, h c = 0, 又 BQ=BA+AQ = -b^(l-A)c, CP = CA^ AP = -c + Ab, 由 BQCP = -2 得,
Q
P
L-/? + (l-A)cJ?(-c + 2Z?) = (A-l)
-Ab =4(2 — 1) — A = —2 ,
2 即32 = 2,所以2 = -.
3
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量
的数量积的运算，属于屮档题.
2 \ > —> ―? —> —?
变式训练1（2011 ?江苏卷10）已知勺心 是夹角为g兀的两个单位向量，a = ex-2e2,b = kex^e2.若
a b = 0,则k的值为 ____________
答案：—
—> —>
4
T
解析: a
—
2 _> _> ->2
中(1一2比)弓 e2-2e2 =￡ + (1 — 2￡)
cos^ = 0,
3
例2（2012 ?江苏9）如图，在矩形ABCD中，AB =辺,BC = 2，点E为BC 的中点，点F在边CD上，若仙 AF = y/2，则AE 的值是 __________________
【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要 用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0, 得到结果.
【解答】因为AF = AD^DF.
二 AB pVD + E>产卜 啊/!> + AB DF = AB DF = \\/2 |DF = \\fl ,
所以 DF =1 , CF =x/2-\\.
AB CF + BE ^C=x/2(V2-1) + lx2 = >/2.
所以AE
【点评】本题主要考查平血向量的数量积的运算.解题的关键是
要把要用的向量表示成已知向量的和 的形式.
变式训练2（2012 ?湖南文15）如图4,在平行四边形ABCD屮，
API BD,垂足为 P, AP = 3且 APAC 二 __________________ .
答案：18
解析：设 AC BD = O,则 AC = 2（AB+BO）, 所以，
八PW ^AP 2］祁齐切=2^PW/? + 2Z47 BO = 2AP AB = 2AP （AP + PB）= 2AP = 18 例3.证明：对于任意
2J
的e、$、*、b严R，恒有不等式（0厶+02乞『5（彳+&）（斤+斤）.
【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关
键在于根据其形式与数量积的坐标表示产牛联系，故需要构造向量.
【解答】设a = (al,a2)9 b = (b?
则 a b = qq + a2b2, a _ = a； + a； , ”「= bj + b；
所以(qb| + a2b2 )2 < (a； + a；)(叶 + 员).
【点评】此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论?这一 技巧应要求学生注意体会.
变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单 位长度为半径的圆上有两点A(cosa,sina),
3(cos0,sin0),
试用A、B两点的坐标表示ZAOB的余眩值. 答案:cos ZAOB - cos a cos 0
+ sin a sin 0 解析：因为 A(cos a. sin a), B(cos 0, sin 0),
所以 OA = (cos a. sin a), OB = (cos [i. sin 0) 那么, cos ZAOB =
0A 0B
= cos a cos 0 + sin a sin (3
OA OB
四、【解法小结】
1 ?准确把握平面向量数量积的重要性质：设a =(西，必)，方=(吃，丁2)
(l)a丄b^ab = o^x[x2^-y[y2=of既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算;
⑵a a = a =\\af与问== 后+异可用來求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互
2转化.
⑶2品二
靑冷
不仅可以用来直接计算讪…的夹角,也可用来求
直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，述可利用夹角的取值情况建立方程或不等式 用于求参数的值或范围.
2. 向量解决儿何问题就是把点、线、平面等儿何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的 运算进行讨
论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到 向量T向量的运算T数到形” ?
3. 明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识:
(1) 力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的柱加亦用到向量的合成; (2) 动量加卩是数乘向量；
(3) 功即是力F与所产生的位移s的数量积. 五、【布置作业】
必做题:
1. (2012-辽宁卷)已知两个非零向量a,方满足|a+洌=|a—洌，则下面结论正确的是(
)
2平面向量小结和复习.docx
