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五、应用题( 本题20分) 1．设生产某种产品q个单位时
的
成本
函
数为:
C(q)
100
0.25q
2
6q(
万元) ,
求: ( 1) 当q10时的总成本、
平均成本和边际成本
; ( 2)
当
产量q为多少时, 平均成本最小? 解
:
( 1)
总
成本
C(q)
100
0.25q
2
6q,
平
均
成本
C(q)
100q
0.25q
6,
边
际
成
本
C(q)
0.5q
6．
因
此
,
C(10)
100
0.2510
2
610
185
(
万元) ,
C(10)
10010
0.2510618.5( 万
元)
C(10)
0.510
6
11
．(
万元) ( 2) 令C(q)
100q
2
0.25
0,
得q
20( q
20舍去) ．
因为q20是其在定义域内唯一驻点, 且该问题确实存在最小
值, 因此当q20时, 平均成本最小.
2．.某厂生产某种产品q件时的
总
成
本
函
数为
C(q)
20
4q
0.01q
2
( 元) , 单位
销售价格为p140.01q( 元/
件) ,
问产量为多少时可使利润
达到最大? 最大利润是多少．
解: 成本为: C(q)
204q0.01q
2
收
益
为:
R(q)
qp
14q
0.01q
2
利
润
为
:
L(q)
R(q)
C(q)10q
0.02q
2
20
L(q)10
0.04q
, 令
L(q)
10
0.04q
0
得, q250是
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惟一驻点, 利润存在最大值, 因此当产量为250个单位时可使利
润达到最大, 且最大利润为
L(250)
10250
0.02
250
2
201230
( 元) 。3．投产某产品的固定成本为
36(万元),
且边际成本为
C(q)
2q
40(万元/
百台)．试求
产量由4百台增至6百台时总成本的增量, 及产量为多少时, 可使平均成本达到最低．解
:
成
本
函
数为:
qC(q)
0
(2x
40)dx
36
当产量由4百台增至6百台时, 总成本的增量为
6
C
4
(2x40)dxx2
|
64
40x|
64
100( 万元)
q
C(q)
0
(2x
40)dx
36
q
2
40qC(q)q40
36q
C(q)1
36q
2
, 令
C(q)1
36q
2
0
得,
q6,q
6( 负值舍去
) 。q
6是
惟一驻点, 平均成本有最小值,
因此当x6( 百台) 时可使平均
成本达到最低.
3、投产某产品的固定成本
为36( 万元) , 且边际成本为
C(q)
2q
60(
万元/百台) 。试
求产量由4百台增至6百台时总成本的增量, 及产量为多少时,
可使平均成本达到最低。
解:
成本函数为:
q
C(q)
0
(2x
60)dx
36
当产量由4百台增至6百台时, 总成本的增量为
C
664
(2x60)dxx2
|
4
60x|
64
140( 万元)
36
C(q)
q0
(2x60)dx36q
2
60qC(q)
q
60
36q
36
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C(q)1
36q
2
令C(q)1
36q
2
0
- 25( 元)
即利润将减少25元。
得, q6,q
q
6( 负值舍去) 。
6是惟一驻点, 平均成本有最
5．已知某产品的
边际成本为
小值, 因此当x
6( 百台) 时可
使平均成本达到最低。
4．已知某产品的边际成本
C(q)
=2( 元/件) , 固定成本为
0, 边际收益R(q)120.02q, 求: ①产量为多少时利润最大
?
②在最大利润产量的基础上再生产50件, 利润将会发生什么变化? 解
: 边
际
利
润
为:
L(q)
R(q)
C(q)
10
0.02q
令L(q)0得, q500。q
500
是惟一驻点, 最大利润存在, 因此
①当产量为500件时, 利润
最大。
②
550
L
500
(100.02x)dx10x|
550
500
0.01x2
|
550500
C(q)
4q
3
(万元/百台),
q为
产量(百台), 固定成本为18(万
元), 求最低平均成本. 解: 因为总成本函数为
C(q)
(4q3)dq=2q
2
3qc
当q= 0时, C(0) = 18, 得c=18, 即
C(q)=
2q
2
3q18
又平均成本函数为
A(q)
C(q)q
2q3
18q令A(q)
2
18q
2
0,
解得q= 3
(百台)
该问题确实存在使平均成本最低的产量. 因此当x = 3时, 平
均成本最低. 最底平均成本为
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润将减少4万元。
A(3)
23
3
183
9 (
万元/百
7..设生产某产品的总成本函数为C(x)5x(万元), 其中x为产量, 单位: 百吨．销售x百吨时
R(x)
台)
6、已知生产某产品的边际成本为C(q)
4
q
(万元/百台), 收
12q
2
入函数为R(q)10q
( 万元) ,
, 如
的
11
边
2x(
际收入为
求使利润达到最大时的产量果在最大利润的产量的基础上
万元/百吨) , 求:
; ⑵在利润
1
⑴利润最大时的产量
再增加生产200台, 利润将会发生怎样的变化?
解:
L(q)
R(q)
最大时的产量的基础上再生产百吨, 利润会发生什么变化.解: ⑴因为边际成本为
2q
?
1,
边际利润为:
C(q)
10
q
4
q
6
C(x)
边际利润
L(x)
R(x)
C(x)
10
2x
令L(q)0得, q
3q
3是惟
令L(x)0, 得x5能够验证x
5
一驻点, 而最大利润存在, 因此当产量为3百台时, 利润最大。当产量由3百台增加到5百台时, 利润改变量为
L
(62x)dx3
3)
(5
2
5
为利润函数L(x)的最大值点. 因此, 当产量为5百吨时利润最大.
⑵当产量由
5百吨增加至
6
百吨时, 利润改变量为
6x|3x|3
3)
2
5
25
6(5
L
65
(102x)dx(10x
x)5
2
6
1216
4( 万元) 即利
1( 万元)
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即利润将减少1万元.
8..设生产某种产品x
个单位时
的
成
本
函
数为
:
C(x)
100
x
2
6x(
万元) ,
求: ⑴当x10时的总成本和平均成本; ⑵当产量x为多少时, 平均成本最小? .解: ⑴因为总成本、平均成
本和边际成本分别为
:
C(x)100x
2
6xC(x)
100x
x
6,
因
此
,
C(10)
100110
2
610
260
C(10)
10010
110626,
⑵C(x)100x
2
1
令
C(x)
0
, 得
x10( x
10舍去) , 能够验证
x10是C(x)的最小值点, 因此当x
10时, 平均成本最小．
线性代数计算题
1
131、
设矩阵A
115, 求
1
2
1
(IA)
1
。解:
因
为
100
113013I
A
01011510
5
001
1
2
1
1
20
0
131001050[I
A
I]
10501001311
2
0
0
0
1
0
2
5
0
1
05010100106501310
0
0105330
0
1
2
11
0
0
1
2
1
1
2024年-2024年中央电大经济数学基础应用题和计算题考点版资料
