2019_2020学年高中数学第3章不等式3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域

3．3.1 二元一次不等式表示的平面区域 3．3.2 二元一次不等式

组表示的平面区域

1.了解不等关系，并抽象出二元一次不等式(组)． 2.理解满足二元一次不等式的数对

(x，y)表示的平面区域，理解二元一次不等式组的几何意义． 3.掌握应用平面区域表示二元一次不等式组的方法．

[学生用书P51])

1．二元一次不等式(组)的概念

(1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式； (2)由二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组． 2．平面区域

在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界；

不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 3．二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定

(1)把直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同． (2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋

By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．若直线不过原点，特殊点(x0，y0)取原

点．即“线定界，点定域”．

(3)每一个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分，就是二元一次不等式组所表示的区域．

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．( ) (2)点(1，2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．( )

(3)不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．( ) (4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式．( ) (5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域．( )

1

解析：(1)错误．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，表示的区域是直线x＝的右侧(不包

2括边界)．

(2)错误．把点(1，2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以点(1，2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．

1

(3)错误．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．

??2x＋y－1≥0，

(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如?也称为二元一

?3x＋2<0?

次不等式组．

(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×

2．直线x＋2y－1＝0右上方的平面区域可用不等式____________表示．

解析：用右上方特殊点(1，1)代入x＋2y－1得结果为2>0.所以所求为x＋2y－1>0. 答案：x＋2y－1>0

4x－3y＋12>0，??

3．不等式组?2x＋y－4<0，所表示的平面区域的面积是________．

??y>0

解析：画出不等式组表示的平面区域，它是一个底边长为5，高为4的三角形区域，其面积S1

＝×5×4＝10. 2

答案：10

4．已知点A(1，0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________．

解析：因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1，0)，B(－2，m)代入可得x1

＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－.

2

??1?

答案：?m?m>－?

2???

二元一次不等式表示的平面区域[学生用书P52]

画出不等式x－2y＋4>0表示的平面区域． 【解】 先作出直线x－2y＋4＝0，

因为这条直线上的点不满足

x－2y＋4>0，

所以画成虚线． 取原点(0，0)，

2

代入x－2y＋4得0－2×0＋4>0，

所以原点在x－2y＋4>0表示的平面区域内．

所以不等式x－2y＋4>0表示的平面区域如图阴影部分所示．

画出不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域．

解：设F(x，y)

＝x－2y＋4，画出直线x－2y＋4＝0， 因为F(0，0)＝0－2×0＋4＝4＞0，

所以x－2y＋4＞0表示的区域为含(0，0)的一侧，因此所求平面区域如图阴影部分所示，包括边界．

画二元一次不等式表示的区域，一般可先将不等式化为Ax＋By＋C>0(A>0)的形式，再按直线定边界，特殊点定区域两步进行，也可用观察法，注意直线的虚实和特殊点的选择．

1.画出不等式y>2x表示的平面区域．

解：设F(x，y)＝y－2x， 画出直线y－2x＝0，

因为F(1，0)＝0－2×1＝－2＜0，

所以y－2x＞0(即y＞2x)表示的区域为不含(1，0)的一侧，因此所求平面区域如图阴影部分所示，不包括边界．

二元一次不等式组表示的平面区域[学生用书P53]

x>0，??

已知不等式组?y>0，

??4x＋3y≤12.

(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)求不等式组所表示的平面区域的面积．

【解】 (1)不等式4x＋3y≤12表示直线4x＋3y＝12上及其左下方的点的集合；x>0表示直线x＝0右方的所有点的集合；y>0表示直线y＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．

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