《概率论与数理统计》复习提要 第一章 随机事件与概率
1．事件的关系 2．运算规则 （1） （2） （3） （4） 3．概率满足的三条公理及性质： （1） （2） （3）对互不相容的事
件，有 （可以取） （4） （5） （6），若，则， （7） （8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率 （1） 定义：若，则 （2） 乘
法公式： 若为完备事件组，，则有 （3） 全概率公式：
（4） Bayes公式： 7．事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用） 第二章 随机变量与概率分布 1． 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2） （3）对任意， 2． 连续随机变量：具有概
率密度函数，满足（1） （2） ；
（3）对任意，
4． 分布函数 ，具有以下性质 （1）；（2）单调非降；（3）右连续； （4），特别； （5）对离散随机变量， ； （6） 为连续函数，且在连续点上， 5． 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有 （1）；（2）；（3）若，则 ； （4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 6． 随机变量的函数 （1）离散时，求的值，将相同的概率相加； （2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导
数， ，若不单调，先求分布函数，再求导。 第三章 随机向量
1． 二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布 ，有 （1）；（2 （3）， 2． 二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有
（1）；（2） （4） （3）； ，
3． 二维均匀分布，其中为的面积 4． 二维正态分布 且； 5． 二维随机向量的分布函数 有 （1）关于单调非降；（2）关于右连续； （3）； （4），，； （5）； （6）对二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性 独立 （1） 离散时 独立 （2） 连续时 独立 （3） 二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布 （1） 和的分布 的密度（2） 最大最小分布
第四章 随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续
时 ，
； ，； (3) 二维时 ， (4)；（5）； （6）； （7）独立时， 2．方差 （1）方差，标准差（2）；
（3）； （4）独立时， 3．协方差
（1）； ； ； （2） （3）； （4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价； （5） 4．相关系数 ；有， 5． 阶原点矩， 阶中心矩 第五章
大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律
3．中心极限定理 （1）设随机变量独立同分布，
或 ， 或
或 ， （2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意， 或理解为若，则 第六章 样本及抽样分布 1．总体、样本 （1） 简单随机样本：即独立同分
布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征： 样本均值（，）； 样本方差 ）样本标准 样本阶原点矩，样本阶中心矩 2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义） （1）分布 ，其中 标准正态分布，若 且独立，则； （2）分布 ，其中且独立； （3）分
布 ，其中 性质 4．正态总体的抽样分
布 （1）； （2 ； （3 且与独立； （4） ； ，（5） （6） 第七章 参数估计 1．矩估计： （1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计： （1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max） 3．估计量的评选原则 ，则为无偏；
(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若 《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则 生的概率为 2． 设随机变量服从泊松分布，且，则______. 3． 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间 密度为 4． 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_________， 5． 设总体的概率密度为 是来自
的样本，则未知参数的极大似然估计量为 解：1． 即
所以 .
2． 由 知 即 解得 ，故 . 3．设的分布函数为的分布函数
为，密度为则 因为，所以，即 故
另解 在上函数 严格单调，反函数为 所以
4． ，故 .
5．似然函数为
解似然方程得的极大似然估计为
二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若，则与也独立. （B）若，则
（C）若，则 与也独立. 与也独立 （D）若，则与也独立.
（ ） 2．设随机变量的分布函数为，则的值为 （A）. （B） （C）. （D）. （ ）
3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 （A）与独立. （B） （C）. （D）. （ ） 4．设离散型随机变量和的
联合概率分布为 若独立，则的值为
（A）. （A）. . （ ） （C） （D） 5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正确的是 （A）X1是的无偏估计量. （B）X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致）估计量. （D）X1不是的估计量. （ ） 解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件
独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）
事实上由图 可见A与C不独立
2．所以 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若独立则有 应选（A）. 2 ?， 9 故应选（A） 5．，所以X1是的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90% 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概
率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确
是合格品’ 则（1） （2） . 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期
望和方差. 解：的概率分布为 即 的分布函数为
五、（10分）设二维随机变量在区域 匀分布. 求（1）关于的边缘概
率密度；（2）的分布函数与概率密 （1）的概率密度为
（2）利用公式 其中
当 或时 时 故的概率密度为
的分布函数为 或利用
分布函数法
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标 互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）
命中点到目标中心距离
1）
；
（2）
. 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16 样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95 区间；（2）检验假设（显着性水平为0.05）. （附注） 解：（1）的置信度为
下的置信区间为
所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）
的拒绝域为 ， 因为 ，所以接受 《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答 一、填空题（每小题
3分，共15分） （1） 设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容， ，，则事件、、中仅发生或仅 概率为 （2） 甲盒中
有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取 个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为 （3） 设随机变量的概率密度为 现对 察，用表示观察值不大于0.5的次
数，则___________. （4） 设二维离散型随机变量的分布列为 若，则 （5） 设是总体的样本，是样本方差，若，
（注：, , , ） 解：（1） 因为 与不相容，与不相容，所以，故 同理 . . （2）设‘四个球是同
一颜色的’， ‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’
则 . 所求概率为
所以 （3） 其
中 ， ， （4）的分布为 这是因为 ，由
得 ， 故 （5） 即 ，亦即 . 二、单项选择题（每小题3分，共15
分） （1）设、、为三个事件，且，则有 （A） （B）
（C） （D） （2）设随机变量的概率密度为
且，则在下列各组数中应取 （A） （B） （C）.
（D） （3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 则有 （ ） ） （A） （B） （C） （D） （ ） （4）对任意随机变量，若存在，则等于 （A） （B） （C） （D） （ ） （5）设 为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的 置信度
为的置信区间为 （B） （C） （ ） （D） 解 （1）由知，故 （A） 应选C. （2） 即 时 故当 应选 （3） 应选
（4） 应选 （5）因为方差已知，所以的置信区间为 应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的 箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：
设‘从箱中任取2件都是一等品’ ‘丢失等号’ .
则
； 所求概率为
四、（10分）设随机变量的概率密度为 求（1）常
数； （2）的分布函数； （3） 解：（1） ∴
（2）的分布函数为
（3） 五、（12分）设的概率密度为 求（1）边缘概率密度； （2）； （3）的概率密度
（2）
（3） 时
时
六、（10分）（1）设，且与独立，求； （2）设且与独立，
求.
； （2）因相互独立，所以
七、（10分）设总体的概率密度为 试用来自总
体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计 解：先求矩估计
故的矩估计为 再求极大似然估计
所以的极大似然估计为 《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分） （1） 设,,，则至少发生一个的概率为 （2） 设服从泊松分布，若，则 （3） 设随机变量的概率密度函数为 今对进行8 独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则 （4） 的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够 正常工作100小时以上的概率为 （5） 设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量
16 ，. 在置信度0.95下，的置信区间为
得 （2） 故 . 解：（1） （3），其
中 . （4）设第件元件的寿命为，则求概率为 （5）的置信度下的置信区间
为 . 系统的寿命为，
所以的置信区间为（）. 二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题3分，共15分） （1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A） （B）
（C） . . （D）.
（ ） （2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使 是某一随机变
量的分布函数，在下列给定的各组数值 中应取 . （B）. （C）. （D）. （ ） （3）设随机变量的分布
函数为，则的分布函数为 （A） （A）. （B） . （D）. （ ） （4）设随机变量的概率分布为 . 且满足，则的相关
系数为 （C） . （C）. （D）. （ ） 相互独立，根据切比 （5）设随机变量 雪
夫不等式有 （A）0. （B . （C）. （D）. （ ） 解：（1）（A）：成立，（B）： 应选（B） （A）. （B） （2）. 应选
（C） （3） 应选（D）
（4）的分布
为
，所以， 于是 . 应选（A） （5） 由切比雪夫不等式
大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析(绝对好用) (2)
