概率论与数理统计课后习题答案
高等教育出版社
习题1.1解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。
解：???(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）?
A??(正，正)，（正，反）?；B??（正，正），（反，反）? C??(正，正)，（正，反），（反，正）?
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数
之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,A?B,AC,BC,A?B?C?D中的样本点。
解：???(1,1),(1,2),?,(1,6),(2,1),(2,2),?,(2,6),?,(6,1),(6,2),?,(6,6)?；
AB??(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)?；
A?B??(1,1),(1,3),(1,5),?,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)?；
AC??；BC??(1,1),(2,2)?；
A?B?C?D??(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)?
3. 以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下
事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1）ABC； （2）ABC； （4）ABC?ABC?ABC; （8）ABC； （9）A?B?C
（3）ABC?ABC?ABC；
（5）A?B?C；
（6）ABC； （7）ABC?ABC?ABC?ABC或AB?AC?BC
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2, A2?A3, A1A2, A1?A2, A1A2A3,
A1A2?A2A3?A1A3.
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件A,B,C满足ABC??，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：
A?B?C，AB?C，B?AC.
解：如图：
AABCABCABCCABCABCABCABCABC?BA?B?C?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC;AB?C?ABC?C;B?AC?ABC?ABC?ABC?BA?ABC?BC?ABC 6. 若事件A,B,C满足A?C?B?C，试问A?B是否成立？举例说明。
解：不一定成立。例如：A??3,4,5?，B??3?，C??4,5?，
那么，A?C?B?C，但A?B。
7. 对于事件A,B,C，试问A?(B?C)?(A?B)?C是否成立？举例说明。
解：不一定成立。 例如：A??3,4,5?，B??4,5,6?，C??6,7?， 那么A?(B?C)??3?，但是(A?B)?C??3,6,7?。
8. 设P(A)?1，P(B)?1，试就以下三种情况分别求P(BA)：
23（1）AB??， （2）A?B， （3）P(AB)?1.
81； 2解：
（1）P(BA)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?（2）P(BA)?P(B?A)?P(B)?P(A)?1； 6113（3）P(BA)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)???。
2889. 已知P(A)?P(B)?P(C)?1，P(AC)?P(BC)?1，P(AB)?0求事件
416A,B,C全不发生的概率。
解：P(ABC)?PA?B?C?1?P(A?B?C)
=1??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)???11?111?3?1?????0???0??
1616?444?810. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A?“三个都是红灯”=“全红”； B?“全绿”； C同”； G?“全黄”； D?“无红”； E?“无绿”； F?“三次颜色相
?“颜色全不相同”； H?“颜色不全相同”。
解：
1?1?112?2?28；P(D)?P(E)?； ??3?3?3273?3?32711113!2P(F)????；P(G)??；
27272793?3?3918P(H)?1?P(F)?1??.
99P(A)?P(B)?P(C)?11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件：
211221C98C2C2C98?C2C98（1）P?； （2）?0.0588P??0.0594； 33C100C100每次拿一件，取后放回，拿3次：
2?982?3?0.0576； （1）P?3100每次拿一件，取后不放回，拿3次： （1）P?983?0.0588； （2）P?1?3100
2?98?97?3?0.0588；
100?99?9898?97?96?0.0594 （2）P?1?100?99?9812. 从0,1,2,?,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
A1??三个数字中不含0与5?，A2??三个数字中不含0或5?。
解：
3C87P(A1)?3?；
C10153312C9?C8C81414或 P(A2)??P(A)?1??23315C10C101513. 从0,1,2,?,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
5P93?4P8241解：P? ?490P1014. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
C64?112116?（1）P?1?6??0.41； （2）P??0.00061； 61212142CC11?（3）P?1266?0.0073
1215. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解：
131213111C4C13?C4C13C39C4C13C13C13P????0.602或P?1??0.602 33C52C52
习题1.2解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：
令Ai?“取到的是i等品”，i?1,2,3
P(A1A3)?P(A1A3)P(A1)0.62???。
P(A3)P(A3)0.93 2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不
合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令A? “两件中至少有一件不合格”，B? “两件都不合格”
P(AB)P(B)P(B|A)???P(A)1?P(A)2C42C102C101?C62?1 53. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求
（1） 两种报警系统I和II都有效的概率； （2） 系统II失灵而系统I有效的概率； （3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。
解：令A? “系统（Ⅰ）有效” ，B? “系统（Ⅱ）有效” 则P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(B|A)?0.85 （1）P(AB)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)
?P(B)?P(A)P(B|A)?0.93?(1?0.92)?0.85?0.862 （2）P(BA)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.92?0.862?0.058 （3）P(A|B)?P(AB)0.058???0.8286
P(B)1?0.934. 设0?P(A)?1，证明事件A与B独立的充要条件是
P(B|A)?P(B|A)
证：
?：?A与B独立，?A与B也独立。 ?P(B|A)?P(B),P(B|A)?P(B) ?P(B|A)?P(B|A)
?： ?0?P(A)?1?0?P(A)?1
P(AB)P(AB),P(B|A)? 又?P(B|A)? P(A)P(A)P(AB)P(AB)? 而由题设P(B|A)?P(B|A)?
P(A)P(A)
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