D．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．
【分析】初看本题，似乎无从下手，但从题目是寻求充要条件，再看选项会发现构造二次函数求最值．
【解答】解：由于a＞0，令函数口向上，
当x=时，取得最小值ymin=
，而x0满足关于x的方程ax=b，那么x0═，，
≥
=
，此时函数对应的开
那么对于任意的x∈R，都有
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力． 12．（5分）（2010?辽宁）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ） A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，） 【考点】棱锥的结构特征． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围 【解答】解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架， 有以下两种情况①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以
取最大值，可知AD=即
，SD=，则有2﹣＜
，
＜2+，
即有＜a＜
②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时0＜a＜2综上分析可知a∈（0，）；
；
故选A．
6
【点评】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到a的取值范围
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）（2010?辽宁）【考点】二项式定理．
的展开式中的常数项为 ﹣5 ．
【分析】展开式的常数项为展开式的常数项与x
﹣2
的系数和；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数分别为0，﹣2即得． 【解答】解：
3
的展开式的通项为Tr+1=C6（﹣1）x
rr6﹣2r
，
当r=3时，T4=﹣C6=﹣20，当r=4时，T5=﹣C6=15，
4
的展开式有常数项1×（﹣20）=﹣20， 的展开式有常数项x×15x=15，
2
﹣2
因此常数项为﹣20+15=﹣5 故答案为﹣5 【点评】本题考查等价转化的能力；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 14．（5分）（2010?辽宁）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是 （3，8） ．（答案用区间表示）
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件
画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小
值，再根据最值给出目标函数的取值范围． 【解答】解：画出不等式组
表示的可行域如下图示：
在可行域内平移直线z=2x﹣3y，
当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时， 目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；
当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时， 目标函数有最大值z=2×1+3×2=8． z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）． 故答案为：（3，8）．
7
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 15．（5分）（2010?辽宁）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 ．
【考点】简单空间图形的三视图；棱锥的结构特征． 【专题】计算题；作图题；压轴题． 【分析】结合题意及图形，可知几何体为一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，还原几何体，求解即可． 【解答】解：由三视图可知，
此多面体是一个底面边长为2的正方形， 且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，
所以最长棱长为．
8
【点评】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力．
16．（5分）（2010?辽宁）已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则【考点】数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】计算题；压轴题．
的最小值为 ．
【分析】由累加法求出an=33+n﹣n，所以出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到
2
，设f（n）=
的最小值．
，由此能导
【解答】解：an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n
﹣n 所以设f（n）=
，令f′（n）=
，
上是递减的，
2
则f（n）在上是单调递增，在因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值． 又因为所以
，的最小值为
，
【点评】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．
三、解答题（共8小题，满分90分） 17．（12分）（2010?辽宁）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC． （Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值． 【考点】余弦定理的应用．
【分析】（Ⅰ）根据正弦定理，设
2
2
2
，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=
（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a=b+c+bc
再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°﹣B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值． 【解答】解：（Ⅰ）设
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC ∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC 方程两边同乘以2R
9
∴2a=（2b+c）b+（2c+b）c
222
整理得a=b+c+bc
222
∵由余弦定理得a=b+c﹣2bccosA 故cosA=﹣，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC =sinB+sin（60°﹣B） =
cosB+sinB
2
=sin（60°+B）
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．
【点评】本题主要考查了余弦函数的应用．其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握． 18．（12分）（2010?辽宁）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
2
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：mm） 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60，65）[65，70）[70，75）[75，80） 30 40 20 10 频数 表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85） 10 25 20 30 15 频数 （ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”． 表3： 22 疱疹面积小于70mm 疱疹面积不小于70mm 合计 a= b= 注射药物A c= d= 注射药物B n= 合计 10
2010年辽宁省高考数学试卷理科答案与解析
