中考数学分类汇编二次函数压轴题
1.（2016?成都第28题）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧． （1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
2
2.（2016?扬州第28题）如图1，二次函数y=ax+bx的图像过点A（-1，3），顶点B的横坐标为1.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图像上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标； （3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图像与该二次函数的图像交于O、C两点，点T为该二次函数图像上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y
ON2轴交OC于点N。若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值。
OM yyy
A31AMNCTx图3-1OB图1xOB图2（备用图）xO1
二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题
3.（2016?益阳第21题）如图，顶点为A(3,1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB； （3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．
4.（2016?哈尔滨第27题）如图，二次函数y＝ax 2＋bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝－
3
，线 2
段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD． （1）求该二次函数的解析式；
（2）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，将△BPF沿边PF翻折，得到△B′PF，使△B′PF与△DPF重
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叠部分的面积是△BDP的面积的 ，若点B′在OD上方，求线段PD的长度;
4 （3）在（2）的条件下，过B′作B′H⊥PF于H，点Q在OD下方的抛物线上，连接AQ与B′H交于点M，点G在线段AM上，使∠HPN+∠DAQ =135°，延长PG交AD于N．若AN+ B′M= D
5,求点Q的坐标． 2y y A C D y A C D A C O B x B O x B O x
2
三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题
5.（2016?重庆第26题）如图1，二次函数y?12x-2x?1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A，B两点，点2A的坐标为（0,1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO︰S四边形AONB=1︰48。 （1）求直线AB和直线BC的解析式；
（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD//x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F，当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+的值最小，求点H的坐标和GH+2BH的最小值；
22BH2（3）如图2，直线AB上有一点K（3,4），将二次函数y?1x2-2x?1沿直线BC平移，平移的距离是t(t≥0)，平移后
2抛物线上点A，点C的对应点分别为点A/，点C/；当△A/C/K是直角三角形时，求t的值。
yByBKPAMOEC图1DFGANxOC图2x3
6.（2016?苏州第28题）如图，直线l:y??3x?3与x轴、B两点，抛物线y?ax?2ax?a?4(a?0)y轴分别相交于A、经过点B．
(1)求该地物线的函数表达式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM．设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S．求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M?. ①写出点M?的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l?，当直线l?与直线AM?重合时停止旋转．在旋转过程中，直线l?与线段BM?交于点C．设点B、M?到直线l?的距离分别为
2d1、d2，当d1?d2最大时，求直线l?旋转的角度（即∠BAC的度数）．
四、与直角三角形性质有关的综合题
7.（2016?甘肃平凉第28题）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
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五、与相似三角形性质有关的综合题
8.（2016?长沙第26题）如图，直线l：y=－x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°. (1) 求△AOB的周长；
(2) 设AQ=t>0.试用含t的代数式表示点P的坐标；
(3) 当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记作∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件： ① 6a+3b+2c=0;
② 当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于
2，求二次项系数a的值. m
六、与圆的性质有关的综合题
9.（2016?巴中第31题）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=x上（不与原点重合），连接PD，过点P作
PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式； （2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
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2017年中考数学分类汇编二次函数压轴题14道
