运用均值不等式的八类拼凑方法
利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、 拼凑定和
通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知0?x?1，求函数y??x3?x2?x?1的最大值。
解：y??x2?x?1???x?1???x?1??1?x2???x?1??1?x?
23?x?1x?1???1?x???2?32x?1x?12?4????1?x??4? 。 ??22327????当且仅当
x?1132。故ymax?。 ?1?x，即x?时，上式取“=”
2327评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，
求“积”的最大值。
例2 求函数y?x21?x2?0?x?1?的最大值。
x2x2解：y?x?1?x??4????1?x2?。
2242?xx2???1?x???1?xx222因， ???1?x?????22327??????22223236x2??1?x2?，即x?当且仅当时，上式取“=”。故ymax?。
932评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知0?x?2，求函数y?6x?4?x2?的最大值。
解：y?36x22?4?x?22?18?2x2?4?x2??4?x2?
3?2x2??4?x2???4?x2??18?83???18?。
327????当且仅当2x2?4?x2，即x???23时，上式取“=”。 3故ymax232318?83?，又y?0,ymax?。
327二、 拼凑定积
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为
出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件
例4 设x??1x?5??x?2??，求函数y?的最小值。
x?1解：y????x?1??4?????x?1??1???x?1?4?5?2x?1x?1?x?1?g4?5?9。 x?1当且仅当x?1时，上式取“=”。故ymin?9。
评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑
定积”，往往是十分方便的。
例5 已知x??1，求函数y?24?x?1??x?3?2的最大值。
解：Qx??1,?x?1?0，?y?24?x?1??x?1?2?4?x?1??4?24?x?1??4?4x?1?24?3。
2?2?4当且仅当x?1时，上式取“=”。故ymax?3。
评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设
法将分母“拼凑定积”。
例6 已知0?x??，求函数y?2?cosx的最小值。
sinxx?x解：因为0?x??，所以0??，令tan?t，则t?0。
22211?cosx1?t213t13t???t???2g?3。 所以y?sinxsinx2t2t22t2当且仅当
3?13t,x?时，上式取“=”?，即t?。故ymin?3。 332t2评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式
的环境。
三、 拼凑常数降幂
例7 若a3?b3?2,a,b?R?，求证：a?b?2。
分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥
梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是a?b?1，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。 证明：Qa3?13?13?33a3g13g13?3a,b3?13?13?33b3g13g13?3b。
， ?a3?b3?4?6?3?a?b?,?a?b?2.当且仅当a?b?1时，上述各式取“=”故原不等式得证。
评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。
例8 若x3?y3?2,x,y?R?，求x2?y2?5xy的最大值。
解：Q3?1?x?x?1?x?x,3?1?y?y?1?y?y,3?1?x?y?1?x?y,
333333?x2?y2?5xy?1?x3?x3?1?y3?y3?5?1?x3?y3?322?7?7?x3?y3?3?7。
当且仅当a?b?1时，上述各式取“=”，故x?y?5xy的最大值为7。
例9 已知a,b,c?0,abc?1，求证：a3?b3?c3?ab?bc?ca。
证明：Q1?a?b?3?1?a?b,1?b?c?3?1?b?c,1?c?a?3?1?c?a，
333333?3?2?a3?b3?c3??3?ab?bc?ca?，又Qab?bc?ca?33a2b2c2?3，
?3?2?a3?b3?c3??2?ab?bc?ca??3,?a3?b3?c3?ab?bc?ca。
当且仅当a?b?c?1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
四、 拼凑常数升幂
例10 若a,b,c?R?，且a?b?c?1，求证a?5?b?5?c?5?43。
分析：已知与要求证的不等式都是关于a,b,c的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是
161a?b?c?，故应拼凑，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
33证明：Q2g161616161616ga?5???a?5?,2ggb?5???b?5?,2ggc?5???c?5?， 333333163?2g。
?a?5?b?5?c?5?31??a?b?c??32.?a?5?b?5?c?5?43?
运用均值不等式的八类配凑方法
