§7.5 空间向量及其应用
1.空间向量的有关概念
名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量
概念 模为0的向量 长度(模)为1的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 a＝b a的相反向量为－a a∥b 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使得b＝λa. (2)共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p＝xe1＋ye2＋ze3.
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→→
a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作OA＝a,OB＝b,则∠AOB叫做向量a与向量b的π
夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉＝,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
2②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b＝|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律:a·b＝b·a； ③分配律:a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).
数量积 共线 垂直 模 向量表示 a·b a＝λb(b≠0,λ∈R) a·b＝0(a≠0,b≠0) |a| a·bcos〈a,b〉＝|a||b|(a≠0,b≠0)
5.空间位置关系的向量表示
cos〈a,b〉＝坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3 夹角余弦 2＋a2·b2＋b2＋b2a2＋a123123a1b1＋a2b2＋a3b3(1)直线的方向向量
直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量. (2)平面的法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α,此时,我们把向量n叫做平面α的法向量. (3)
位置关系 向量表示 直线ln1∥n2?n1＝λn2 1,l2的方向向量分别为n∥l2 1,n2 l1l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2＝0 直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m l∥α n⊥m?n·m＝0 l⊥α n∥m?n＝λm 平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m?n＝λm α⊥β n⊥m?n·m＝0
概念方法微思考
1.共线向量与共面向量相同吗？
提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？
提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故零向量不能作为基向量.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a,b共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)c＝a(b·c).( × ) (3)对于非零向量b,由a·b＝b·c,则a＝c.( × )
→→→→
(4)若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( √ ) 题组二 教材改编
→→→
2.如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB＝a,AD＝b,AA1→
＝c,则下列向量中与BM相等的向量是( )
11
A.－a＋b＋c
2211
C.－a－b＋c
22答案 A
→→→→1→→
解析 BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)
2111
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
222
3.正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为________. 答案
2
11
B.a＋b＋c 2211
D.a－b＋c 22
→→→→→
解析 |EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2
→→→→→→→→→＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2, →
∴|EF|＝2,∴EF的长为2.
题组三 易错自纠
4.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(－2,－1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是( ) A.垂直 C.异面
B.平行
D.相交但不垂直
高2024届高2024级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第七章 7.5
