2024届山东省日照一中
高三上学期第二次质量达标检测数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
封2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
密4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
不1．已知集合P={x|x≥0}，Q={x|
≥0}，则P∩（?RQ）=
A．[0，2） B．[0，2] C．（﹣1，0） D．（﹣∞，1] 2．若函数 不是单调函数，则实数 的取值范围是
订A．[0,+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．(0,+∞） 3．已知函数
f（x）= sin2x+
cos2x，若其图象是由
y=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位得
装到，则φ的最小值为
A．
B． C． D．
4．设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，且f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，
只则不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1的解集为
A．[﹣1，1] B．[0，4] C．[﹣2，2] D．[1，3]
卷号位5．在函数y=cosx，x∈[- , ]的图象上有一点P（t，cost），若该函数的图象与x轴、直线x=t，座号围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则函数S=g（t）的图象大致是
场考此号考证准名姓
级班
A．
B．
C．
D．
6．由①安梦怡是高三（21）班学生，②安梦怡是独生子女，③高三（21）班的学生都是独生子
女。写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为
A．②①③ B．③①② C．①②③ D．②③①
7．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且cos2C+cosC+cos（A﹣B）=1，则 A．a，b，c成等差数列 B．a，c，b成等差数列 C．a，c，b成等比数列 D．a，b，c成等比数列
8．若函数（fx）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为（fx）=
,则
f（
）+f（
）=
A． B．﹣
C． D．﹣ 9．已知a=log23，b=log34，c=log411，则a，b，c 的大小关系为
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．a＜c＜b 10．．“a?1”是“对任意的正数x，不等式2x?ax?1成立”的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知M是△ABC内的一点，且 =4 ，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，则
的最小值是
A．20 B．18 C．16 D．9
12．已知函数
（其中e为自然对数底数）在x=1取得极大值，则a的取值范围是
A．a＜0 B．a≥0 C．﹣e≤a＜0 D．a＜﹣e
二、填空题
13．设 ， ，若 ，则
=_____________.
14．已知实数x，y满足 ，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数
构成等差数列，那么这个等差数列最后三项和的最大值为_____________.
15．当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+???+xn+???=
两边同时积分得：
从而得到如下等式：
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法， 由二项式定理
Cn0+Cn1x+Cn2x2+???+Cnnxn=（1+x）n计算：
__________
16．定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为_______.
三、解答题
17．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x， （1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（2x）﹣m?2x+1，其中x∈[0，1]，m为常数且m∈R，求函数g（x）的最小值． 18．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AB=14，BD=6，∠ADC=
，
． （Ⅰ）求sin∠DAC；
（Ⅱ）求AD的长和△ABC的面积．
19．日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为 ，草坪的每平方米的造价为 （k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试
问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．
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20．已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
（n∈N*）
（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{nan}是等比数列，并求数列{an}的通项an； （Ⅱ）求数列{n2an}的前n项和Tn； （Ⅲ）对任意n∈N*，使得
恒成立，求实数λ的最小值．
21．已知函数f（x）=
，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若函数g（x）的图象在（1，0）处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）当k=0时，证明：f（x）+g（x）＞0； 22．已知函数 . （1）讨论 的单调性；
（2）若 在区间
上有两个零点，求 的取值范围.
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高三上学期第二次质量达标检测数学（理）试题
数学答案
参考答案 1．B 【解析】 【分析】
解分式不等式可得 或 ，进而由补集定义求得 ，再由交集可求得P∩（?RQ）=[0，2]。
【详解】
因为
或 ，所以 。 因为P={x|x≥0}，所以P∩（?RQ）=[0，2]。 故选B。 【点睛】
本题考查集合的运算，主要考查学生的运算能力及转化能力，试题容易。有关数集的运算，可将数集表示在数轴上进行求解。
2．C 【解析】
函数 的定义域为 ，函数 的导数为
，当 时， ，函数 是增函数，当 时，函数 在 ， 上递减，在 递增， 不是单调函数，则实数 的取值范围是 ，故选C.
3．C 【解析】 【分析】
将函数f（x）的解析式用辅助角公式化为f（x）=
,函数y=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位可得函数解析式为 ,两函数解析式比较可得
。
【详解】 因为
f（x）= sin2x+ cos2x=
.
函数y=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到的图象对应的函数解析式为 .
所以 =
。解得
.
故选C. 【点睛】
本题考查三角函数图象的平移、辅助角公式等知识。函数图象左右平移时，遵循“左加右减”的原则，一定注意是相对于x本身加减。
4．D 【解析】 【分析】
要解不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1，应根据函数的单调性来解。故由f（x）为奇函数，f（1）=﹣1，求得 。进而不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1可化为 ，然后根据函数的单调性即可解此不等式。
【详解】
因为函数f（x）为奇函数，f（1）=﹣1，所以 。 所以不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1可化为 。 因为函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调递减函数， 所以， ，解得 。 故选D。 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、解抽象不等式等知识。考查学生的运算能力、转化能力。解抽象不等式，应先将不等式化为 的形式，然后根据函数的单调性可得 、 的大小，进而可解不等式。
5．B 【解析】 【分析】
用定积分来表示阴影部分的面积，并化简可得 ，其中
。然后由函数图象平移可得所求函数的图象。
【详解】
阴影部分的面积为 ，其中
。
函数 的图象是将正弦函数的图象向上平移一个单位。
故选B。 先根据函数的周期化简得
，再根据奇函数可得 【点睛】
本题考查定积分、正弦函数的图象及函数图象的平移等知识。考查学生的运算能力、转化能力。 ，进而代入分段函数解析式中求值。
不规则图形面积的求解，应用定积分来求解。
【详解】 6．B 由已知可得
【解析】
【分析】
. 由三段论的一般模式，可得结论。 故选A。 【详解】
【点睛】
因为高三（21）班的学生都是独生子女，又因为安梦怡是高三（21）班学生， 求分段函数的函数值： 所以安梦怡是独生子女。 ⑴、方法1步骤：
故选B。 ①、找到给定自变量所在的区间； 【点睛】
②、求出该区间上函数的解析式； 三段论是演绎推理的一般模式：包括：⑴大前提——已知的一般原理；⑵小前提——所研究的③、将自变量带入解析式求解。 特殊情况；⑶结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
⑵方法2步骤：
7．C ①、利用性质，将给定的自变量转换到有解析式的区间内； 【解析】 ②、将准换后的自变量代入已知的解析式求解。 【分析】
9．B 要判断三边a，b，c之间的关系，所以将cos2C+cosC+cos（A﹣B）=1，用余弦二倍角公式【解析】 和 变形得
【分析】
，然后用两角和、差的余弦公式化简和正弦定理可得找一中间量
三边a，b，c之间的关系。
，比较a=log23和b=log
34与 的大小，进而比较a=log23和b=log34的大小。利用换【详解】
底公式变形得 ，利用对数函数单调性比较 与 的大小，进而可得三数的大小。
因为cos2C+cosC+cos（A﹣B）=1，所以 ， 【详解】
所以
，所以
。 因为
， 故选C。 ， 【点睛】
所以 。 三角形中，已知三角之间的关系，求三边之间的关系。根据已知式子得特点，可用余弦二倍角故选B。 公式化简并消去常数1。再用公式化简出三个角的正弦的关系。
【点睛】
8．A 本题考查对数大小的比较，同底数的利用对数函数的单调性比较大小；底数不同的，一种方法，【解析】 找中间量，比较它们和中间量的大小；另一种方法，利用换底公式化成底数相同的，然后利用对数【分析】
函数的单调性比较大小。
好教育云平台名校精编卷答案第3页（共14页）好教育云平台名校精编卷答案第4页（共14页）
10．A 【解析】2x?ax?1,x?0，则a??2x2?x对x?0恒成立，而?2x2?x??2(x?114)2?8，所以a?18
“对任意的正数x，不等式2x?a1x?1成立”的充要条件是“a?8”，
故“a?1”是“对任意的正数x，不等式2x?ax?1成立”充分不必要条件，故选A 11．D 【解析】 【分析】
由 =4 ，∠BAC=30°，可求得三角形的面积，进而得到 。因为
，所以
，然后去括号，利用基本不等式可求最小值。
【详解】
因为 =4 ，∠BAC=30°，所以
。 所以 C=
|| C | |
。 因为△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，所以 ，所以 。 所以
。
当且仅当
即
时，上式取“=”号。
所以，
时，
取最小值9.
故选D。 【点睛】
本题考查数量积的定义、三角形的面积公式、基本不等式求最值。利用基本不等式 求最值，注意“一正、二定、三相等”。当 ， 都取正值时，和取定值，则积有最大值，积取定值，和有最小值。
12．D 【解析】 【分析】
先求导得 ，因为函数 在 处取得极大值，故应讨论导函数的正负。当 时，求导函数的正负，可得函数 在 处取极小值，不符合
题意。当 时，求方程 = 的两根可得 = 或 。由函数 在 处取得极大值，
可得 = 与 的大小，进而可求 的取值范围。
【详解】
因为 。
当 时， 。由 ，得 ；由 ，得 。 所以， 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数。 则函数 在 处取极小值，不符合题意。 当 时，令 = ，得 = 或 。
因为函数 在 处取得极大值，所以 。
所以， 的取值范围是 。 故选D。 【点睛】
本题考查由函数的极值，求参数的取值范围。和导函数极值有关的问题，应先求导，对导函数正负，根据式子的特点对解析式中所含的参数分类讨论，寻求符合题意的参数的取值范围。本题难度较大。
13． 【解析】
【分析】
根据 可求得
，进而求得
，然后由向量模的坐标运算可求得结果。 【详解】
因为 ， ， ，所以 ，解得
。 所以
，所以
。 所以 。 【点睛】
本题考查向量数量积的坐标运算、向量模的坐标运算，主要考查学生的运算能力与转化能力。
若 ，则 。
14．9 【解析】 【分析】
【100所名校】2024届山东省日照一中高三上学期第二次质量达标检测数学(理)试题(解析版)
