微专题 函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.函数奇偶性、对称性间关系:
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;一般的,若对于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x),则y=f(x)的图象关于直线??=对称.
(2)若函数y=f(x+a)是奇函数,即f(-x+a)+f(x+a)=0,则函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称;一般的,若对于R上的任意x都有f(-x+a)+f(x+a)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.
2. 函数对称性、周期性间关系:
若函数有多重对称性,则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍,为相邻对称中心距离的2倍,为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍.
3. 善于发现函数的对称性(中心对称、轴对称),有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.
??+??2
【典型题示例】
1?1
+x=f ?-x?,函数f (x例1(2019·江苏启东联考)已知函数f (x)对任意的x∈R,都有f ??2??2?111
+1)是奇函数,当-≤x≤时,f (x)=2x,则方程f (x)=-在区间[-3,5]内的所有根之和
222为________.
1?1
因x因 f ?因x?因因因f 【解析】因因因因f (x因1)因因因因因因因f (因x因1)因因f (x因1)因因因因f ??2??2?(1因x)因f (x)因因因f (x因1)因因f (x)因因f (x因2)因因f (x因1)因f (x)因 因因 因因f 1
(x)因因因因2因因因因因因因因x因因因因因因因因f (x)因因因因因因因因
2
11
由图象可得f (x)=-在区间[-3,5]内有8个零点,且所有根之和为×2×4=4.
22例2 已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数,满足f(1?x)?f(1?x).若f(1)?2,则
f(1)?f(2)?f(3)?…?f(50)?
1
A.?50 B.0 C.2 D.50
【分析】同例1得f (x)的的的的4,故f (1) +f (2) +f (3) +f (4)=f (5) +f (6) +f (7) +f (8) =···=f (45) +f (46) +f (47) +f (48),而f (1)=2,f (2)=f (0)=0(f(1-x)=f(1+x)中,取x=1)、f (3)=f (-1) =-f (1)=-2、f (4)=f (0)=0,故f (1) +f (2) +f (3) +f (4)=f (5) +f (6) +f (7) +f (8) =···=f (45) +f (46) +f (47) +f (48) =0,所以f (1) +f (2) +f (3) +···+f (50) =f (47) +f (48) =f (1) +f (2) =2.
例3已知函数y?f(x)是R上的奇函数,对任意x?R,都有f(2?x)?f(x)?f(2)成立,当x1,x2?[0,1],且x2?x2时,都有
f(x1)?f(x2)?0,则下列结论正确的有( )
x1?x2A.f(1)?f(2)?f(3)???f(2019)?0
B.直线x??5是函数y?f(x)图象的一条对称轴 C.函数y?f(x)在[?7,7]上有5个零点 D.函数y?f(x)在[?7,?5]上为减函数
【解答】解:根据题意,函数y?f(x)是R上的奇函数,则f(0)?0;
对任意x?R,都有f(2?x)?f(x)?f(2)成立,当x?2时,有f(0)?2f(2)?0,则有f(2)?0,则有f(2?x)?f(x),即x?1是函数f(x)的一条对称轴; 又由f(x)为奇函数,则f(2?x)??f(?x),变形可得f(x?2)??f(x),则有f(x?4)??f(x?2)?f(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数,
当x1,x2?[0,1],且x2?x2时,都有
f(x1)?f(x2)?0,则函数f(x)在区间[0,1]上
x1?x2为增函数,又由y?f(x)是R上的奇函数,则f(x)在区间[?1,1]上为增函数; 据此分析选项:对于A,f(x?2)??f(x),
则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?[f(1)?f(3)]?[f (2)?f(4)]?0, f(1)?f(2)?f(3)???f(2019)?504?[f(1)?f(2)?f(3)?f(4)]?f
(1)?f(2)?(3)?f(2)?0,A正确;
对于B,x?1是函数f(x)的一条对称轴,且函数f(x)是周期为4的周期函数,则x?5 是函数f(x)的一条对称轴,
又由函数为奇函数,则直线x??5是函数y?f(x)图象的一条对称轴,B正确; 对于C,函数y?f(x)在[?7,7]上有7个零点:分别为?6,?4,?2,0,2,4,6;C错误;
对于D,f(x)在区间[?1,1]上为增函数且其周期为4,函数y?f(x)在[?5,?3]上为
2
增函数,又由x??5为函数f(x)图象的一条对称轴,则函数y?f(x)在[?7,?5]上为减函数,D 正确;故选:ABD.
【巩固训练】
1.已知函数f?x??()12x?a关于x?1对称,则f?2x?2??f?0?的解集为_____.
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1?x)??f(3?x),且f(x)的图象与
g(x)?lgx的图象有四个交点,则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 4?x3.已知函数f(x)(x?R)满足f(1?x)?f(1?x),f(4?x)?f(4?x),且?3?x?3时,
f(x)?ln(x?1?x2),则f(2018)?( )
A.0
B.1
C.ln(5?2)
D.ln(5?2)
4.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,
若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则
x1?x2?x3?x4?_________. 8
5. (多选题)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且函数f(x?2)为偶函数,下列结论正确的是( )
A.函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称
B.f(4)?0
C.f(x?8)?f(x) D.若f(?5)??1,则f(2019)??1 6.(多选题)函数f(x)的定义域为R,且f(x?1)与f(x?2)都为偶函数,则( ) A.f(x)为偶函数 C.f(x?2)为奇函数
B.f(x?1)为偶函数 D.f(x)为同期函数
7.若定义在R上的函数f?x?满足f?x?2???f?x?,个论断:
f?x?1?是奇函数,现给出下列4
①f?x?是周期为4的周期函数;②f?x?的图象关于点?1,0?对称; ③f?x?是偶函数; ④f?x?的图象经过点??2,0?; 其中正确论断的个数是______________.
3
2021年新高考一轮复习函数的奇偶性、对称性、周期性
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