微专题 函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线??=对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．
2. 函数对称性、周期性间关系：
若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．
3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.
??+??2
【典型题示例】
1?1
＋x＝f ?－x?，函数f (x例1(2019·江苏启东联考)已知函数f (x)对任意的x∈R，都有f ??2??2?111
＋1)是奇函数，当－≤x≤时，f (x)＝2x，则方程f (x)＝－在区间[－3,5]内的所有根之和
222为________.
1?1
因x因 f ?因x?因因因f 【解析】因因因因f (x因1)因因因因因因因f (因x因1)因因f (x因1)因因因因f ??2??2?(1因x)因f (x)因因因f (x因1)因因f (x)因因f (x因2)因因f (x因1)因f (x)因 因因 因因f 1
(x)因因因因2因因因因因因因因x因因因因因因因因f (x)因因因因因因因因
2
11
由图象可得f (x)＝－在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为×2×4＝4.
22例2 已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，则
f(1)?f(2)?f(3)?…?f(50)?
1
A．?50 B．0 C．2 D．50
【分析】同例1得f (x)的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f(1－x)＝f(1＋x)中，取x＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.
例3已知函数y?f(x)是R上的奇函数，对任意x?R，都有f(2?x)?f(x)?f（2）成立，当x1，x2?[0，1]，且x2?x2时，都有
f(x1)?f(x2)?0，则下列结论正确的有( )
x1?x2A．f（1）?f（2）?f（3）???f(2019)?0
B．直线x??5是函数y?f(x)图象的一条对称轴 C．函数y?f(x)在[?7，7]上有5个零点 D．函数y?f(x)在[?7，?5]上为减函数
【解答】解：根据题意，函数y?f(x)是R上的奇函数，则f(0)?0；
对任意x?R，都有f(2?x)?f(x)?f（2）成立，当x?2时，有f(0)?2f（2）?0，则有f（2）?0，则有f(2?x)?f(x)，即x?1是函数f(x)的一条对称轴； 又由f(x)为奇函数，则f(2?x)??f(?x)，变形可得f(x?2)??f(x)，则有f(x?4)??f(x?2)?f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，
当x1，x2?[0，1]，且x2?x2时，都有
f(x1)?f(x2)?0，则函数f(x)在区间[0，1]上
x1?x2为增函数，又由y?f(x)是R上的奇函数，则f(x)在区间[?1，1]上为增函数； 据此分析选项：对于A，f(x?2)??f(x)，
则f（1）?f（2）?f（3）?f（4）?[f（1）?f（3）]?[f （2）?f（4）]?0， f（1）?f（2）?f（3）???f(2019)?504?[f（1）?f（2）?f（3）?f（4）]?f
（1）?f（2）?（3）?f（2）?0，A正确；
对于B，x?1是函数f(x)的一条对称轴，且函数f(x)是周期为4的周期函数，则x?5 是函数f(x)的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线x??5是函数y?f(x)图象的一条对称轴，B正确； 对于C，函数y?f(x)在[?7，7]上有7个零点：分别为?6，?4，?2，0，2，4，6；C错误；
对于D，f(x)在区间[?1，1]上为增函数且其周期为4，函数y?f(x)在[?5，?3]上为
2
增函数，又由x??5为函数f(x)图象的一条对称轴，则函数y?f(x)在[?7，?5]上为减函数，D 正确；故选：ABD．
【巩固训练】
1．已知函数f?x??()12x?a关于x?1对称,则f?2x?2??f?0?的解集为_____.
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1?x)??f(3?x)，且f(x)的图象与
g(x)?lgx的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 4?x3.已知函数f(x)(x?R)满足f(1?x)?f(1?x),f(4?x)?f(4?x)，且?3?x?3时，
f(x)?ln(x?1?x2)，则f(2018)?（ ）
A．0
B．1
C．ln(5?2)
D．ln(5?2)
4.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，
若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则
x1?x2?x3?x4?_________. 8
5. （多选题）已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x?2)为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称
B．f（4）?0
C．f(x?8)?f(x) D．若f(?5)??1，则f(2019)??1 6．（多选题）函数f(x)的定义域为R，且f(x?1)与f(x?2)都为偶函数，则( ) A．f(x)为偶函数 C．f(x?2)为奇函数
B．f(x?1)为偶函数 D．f(x)为同期函数
7.若定义在R上的函数f?x?满足f?x?2???f?x?，个论断：
f?x?1?是奇函数，现给出下列4
①f?x?是周期为4的周期函数；②f?x?的图象关于点?1,0?对称； ③f?x?是偶函数； ④f?x?的图象经过点??2,0?； 其中正确论断的个数是______________.
3
2021年新高考一轮复习函数的奇偶性、对称性、周期性
