数列求和及综合问题
1．数列求和的方法
a．应用公式法求数列的和
(1)(经典题，6分)已知等比数列{an}的首项为2，前n项和为Sn， 3
且S2，S3－a4，S4成等差数列，求Sn.
218
1－n? 答案：Sn＝?3?4?3
解：∵S2，S3－a4，S4成等差数列，
23
S3－a4?＝S2＋S4，(2分) ∴2?2??
31
a1＋a2＋a3－a4?＝a1＋a2＋a1＋a2＋a3＋a4，即a3＝4a4，∴q＝.(4分) 即2?2??4∵a1＝2，
1
1－n?2×??4?8?1?∴前n项和Sn＝＝?1－4n?.(6分)
131－4
b．应用分组转化法求数列的和
(2)(2015湖南，13分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－ Sn＋1＋3，n∈N*.
(Ⅰ)证明：an＋2＝3an； (Ⅱ)求Sn.
答案：(Ⅰ)见证明过程 (Ⅱ) n?332 ? ( 5? 3 1) ，n为奇数 2 nn32(3?1)，n为偶数 2
??S????解：(Ⅰ)证明：由an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，
可得an＋1＝3Sn－1－Sn＋3，两式相减，
得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an(n≥2)．(3分)
∵a1＝1，a2＝2，∴a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3＝3a1，∴an＋2＝3an.(5分) an＋2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，an≠0，∴＝3，于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列，
an
数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列，∴a2n－1＝3n1，a2n＝2×3n1，(8分)
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于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋9＋…＋ 3
n－1
)＋2(1＋3＋9＋…＋3
n－1
)＝3(1＋3＋9＋…＋3
n－1
3（3n－1）)＝，(11分)
2
3（3n－1）3－－
从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3n1＝(5×3n2－1)．
22综上所述，
??Sn??n32(3?1)??2n?33(5?32?1)2，n为奇数
，n为偶数 (13分)
c．应用错位相减法求数列的和
(3)(2017天津，13分)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．
3n－2n＋18
(3)答案：(Ⅰ)an＝3n－2，bn＝2n (Ⅱ)×4＋
33解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2， ∴q2＋q－6＝0，解得q＝2或－3. 又∵q>0，∴q＝2，∴bn＝2n.(3分) 由b3＝a4－2a1，可得(a1＋3d)－2a1＝8①.
11×10
由S11＝11b4，可得11a1＋d＝11×24，即a1＋5d＝16②.
2
??a1＝1，
联立①②，解得?由此可得an＝3n－2.
?d＝3，?
综上可知，数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.(6分) (Ⅱ)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn.(7分)
由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，
∴Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，①
＋
∴4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n1，②
＋
①－②，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n1 12×（1－4n）＋＋
＝－4－(3n－1)×4n1 ＝－(3n－2)×4n1－8，(11分)
1－43n－2n＋18∴Tn＝×4＋，
33
3n－2n＋18
∴数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4＋.(13分)
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d．应用裂项相消法求数列的和
(4)(2015安徽，12分)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
an＋1
(Ⅱ)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
SnSn＋11－
答案：(Ⅰ)an＝2n1 (Ⅱ)Tn＝1－n＋1 2－1
解：(Ⅰ)由题设知a1a4＝a2a3＝8①，又a1＋a4＝9②，
?a1＝1，??a1＝8，?
联立①②，解得?或?
??a＝8a＝1.?4?4
??a1＝1，
∵数列{an}是递增的等比数列，∴?(2分)
?a4＝8.?
设数列{an}的公比为q.
由a4＝a1q3得q3＝8，解得q＝2，∴an＝a1qn1＝2n1.(4分) a1（1－qn）1－2nn
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，Sn＝＝＝2－1.(6分)
1－q1－2an＋1Sn＋1－Sn11
∵bn＝＝＝－，(8分)
SnSn＋1SnSn＋1SnSn＋1
11?11??11??11???－－－－∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝?SS?＋?SS?＋?SS?＋…＋SnS
122334?n＋1?111
＝－＝1－n＋1.(12分) S1Sn＋12－1
(5)(2024南昌三模，5分)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝则数列{bn}的前n项和为( )
n＋12n＋33A. B.－
42（n＋1）（n＋2）2（n＋2）
n－12n＋3
C. D. 2（n＋2）（n＋1）（n＋2）
答案：B
解析：(法一)由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知，数列{an}是首项为3，公差为2 的等差数列，
n（3＋2n＋1）
∴a1＋a2＋…＋an＝＝n(n＋2)，
21111
∴bn＝＝?n－n＋2?，
?n（n＋2）2?
1
，a1＋a2＋…＋an
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