板块命题点专练(十二) 圆锥曲线
命题点一 椭圆
―→―→2
1.(2018·浙江高考)已知点P(0,1)，椭圆＋y＝m(m＞1)上两点A，B满足AP＝2PB，
4则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．
―→―→
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，
?－x1＝2x2，?得???1－y1＝2y2－1，
x2
即x1＝－2x2，y1＝3－2y2. 4x2
＋4
222
3－2y??
因为点A，B在椭圆上，所以?x??4＋y＝m，
2
2
22＝m，
13
解得y2＝m＋，
44
12591222
所以x2＝m－(3－2y2)＝－m＋m－＝－(m－5)＋4≤4，
4244所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大． 答案：5
x2
2．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2
ay2b＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFCb2
＝90°，则该椭圆的离心率是________．
b2
x24
解析：将y＝代入椭圆的标准方程，得2＋2＝1，
2abb所以x＝±
33b??3b??
a，故B?－a，?，C?a，?. 22??22??2
―→?3b?
又因为F(c,0)，所以BF＝?c＋a，－?，
22??―→?3b?
CF＝?c－a，－?.
22??
―→―→
因为∠BFC＝90°，所以BF·CF＝0， 所以?c＋
??3??3??b?2
a??c－a?＋?－2?＝0， 2??2???
1
即c2
－34a2＋14
b2＝0，
将b2＝a2－c2代入并化简，得a2
＝322
c，
所以e2
＝c226
a2＝3，所以e＝3
(负值舍去)．
答案：
63
3．(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭
圆E：x2y2
a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率
为12，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标． 解：(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为1
2
，两准线之间的距离为8，
ca＝12，2a2
所以c＝8，
解得a＝2，c＝1，于是b＝a2
－c2
＝3， 因此椭圆E的标准方程是x2y2
4＋3＝1.
(2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)． 设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点， 故x0＞0，y0＞0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符． 当xy0y0
0≠1时，直线PF1的斜率为
x1，直线PF2的斜率为x. 0＋0－1
因为l1⊥PFx0＋11，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－y，直线l的斜率为－x0－1
2， 0y0
从而直线lx0＋1
1的方程为y＝－y(x＋1)， ① 0
直线lx0－1
2的方程为y＝－
y(x－1)．
②
0
由①②，解得x＝－xx20－1
0，y＝y，
0
2
x0－1??所以Q?－x0，. y0???
x20－1
因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，
y0
即x0－y0＝1或x0＋y0＝1. 又点P在椭圆E上，故＋＝1.
43
22
?x0－y0＝1，2
2
2
2
2
x2y200
?22
联立?x0y0
＋＝1，??43
2
2
47
?x＝
?7，解得?
37y＝??7；00
x0＋y0＝1，??22
联立?x0y0
＋＝1，??43
无解．
因此点P的坐标为?
?4737?
，?.
7??7
x2y26
4．(2018·北京高考)已知椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为22.斜
ab3
率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点
?71?为D，若C，D和点Q?－，?共线，求k.
?44?
??c6
解：(1)由题意得?＝，
a3??2c＝22，
x2
2
a2＝b2＋c2，
2
解得a＝3，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y＝1.
3
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m，??2由?x2
＋y＝1，??3
得4x＋6mx＋3m－3＝0，
2
3m3m－3所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
24
2
3
(江苏专版)2020版高考数学 命题点专练 圆锥曲线(文)(含解析)苏教版
