最值系列之“胡不归”问题
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
BV1V1驿道砂石地AV2C
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1 ACBC的值最小． ?V2V1BV1MNAV2C 【问题分析】 ?VVACBC1??=?BC?1AC?，记k?1， V2V1V1?V2V2?即求BC+kAC的最小值． 1 【问题解决】 构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． BMsinα=ACHACα=kHCNDCH=kAC 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． BMAαHCND 【模型总结】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段． 2 【2024长沙中考】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD?5BD的最小值是_______． 5AEDBC 【分析】本题关键在于处理“sin?ABE5BD”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，555，故作DH⊥AB交AB于H点，则DH?BD． 55AAHEDHDCEBBC 问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CD?DH?CH?BE?45． 【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下： EDBC 则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在． AEDBCsinα=αBHDCE55 3 【2024南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB?3PD的最小值等于________． 2DPCAB 【分析】考虑如何构造“33，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥ADPD”，已知∠A=60° 223PD，将问题转化为：求PB+PH最小值． 2MH延长线于H点，即可得PH?DPCAB 当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长． MHDPCAB 4 【2014成都中考】如图，已知抛物线y?k?x?2??x?4?（k为常数，且k>0）与x轴从左至83x?b与抛物线的另一交3右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y??点为D． （1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ yDACOBx 【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A（-2,0），B（4,0），直线解析式为y??y?343，D点坐标为?5,33，故抛物线解析式为x?33??332383．另外为了突出问题，此处略去了x??x?2??x?4?，化简为：y?x2?9999该题的第二小问． 11????点M运动的时间为?AF?DF?，即求?AF?DF?的最小值． 22????yHDFACOBxACOBxyDFM 接下来问题便是如何构造 DF，考虑BD与x轴夹角为30°，且DF方向不变，故过点D作2DF． 2DM∥x轴，过点F作FH⊥DM交DM于H点，则任意位置均有FH=当A、F、H共线时取到最小值，根据A、D两点坐标可得结果． 5
初中数学最值系列之胡不归问题
