浅谈二次函数在高中阶段的应用
江西万安沙坪中学 肖华岚
在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能 力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是 高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活 应用，对二次函数还需再深入学习。
一、 进一步深入理解函数概念
初中阶段己经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着 重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一?定了解的函 数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域)上的映射/:A—B,使得集合B中的元素y=ax+bx+c(a^O)与集合A的元素 X对应，记为2
j(x)= ax+ bx+c(a\这里ax+bx+c表示对?应法则，又表示定义域中的元素X 在值域中的象，
从而使学生对函数的概念有一?个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理如下问题：
类型 I：己知/(x)= 2X+X+2,求/(x+1)
这里不能把/(x+1)理解为x=x+l时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。 类型II：设/(x+l)=x2—4x+l,求/(X)
这个问题理解为，已知对应法则/下，定义域中的元素X+1的象是X-4X+1,求定义域 中元素X的象，其本质是求对应法则。 —般有两种方法：
(1) 把所给表达式表示成X+1的多项式。
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f (x+1)=X，—4x+l = (x+l)'—6(x+l)+6,再用 x 代 x+1 得f (x)=x—6x+6
(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令 t=x+1,则 x=t-l
(t) = (t-l)—4(t-l)+l=t—6t+6 从而f (x)= x'—6x+6
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二、 二次函数的单调性，最值与图象。
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在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax+bx+c在区间(一8, —* ] 2a
及[—厂，+8)上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上, 2a
与此同时?，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地 利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型山：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
(1) y=x+21x— 1 — 1 (2) y=|x-l
(3) = X+2 I x | —1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用 分段函数去表示，然后画出其图象。
类型IV设/(X)=X-2X-1在区间［t,t+l］±的最小值是g(t)o 求：g(t)并画出y=g(t)的图象
解：f (x)=x—2x—l=(x—I)—2,在 x=l 时取最小值一2 当 1 仁［t, t+1］即 OWtWl, g(t)=—2 当 t>l 时，g(t)=/(t)=t—2t —1
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当 tVO 时,g(t)=/(t+l)=t-2
r / —2, (t<0)
g(t)=< -2, (OWtWl)
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V—2t — 1, (t>l)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是 只有最大值，但当定义域发生变化时H取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉 这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如:y=3x—5x+6 (-3WxW —1),求该函数的值域。 三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
类型 V：设二次函数/(x)=ax+bx+c (a>0)方程/(x) —x=。的两个根 x” X2满足 0 cl (I) 当 XE(O, Xi)时,证明 X (II) 设函数/(x)的图象关于直线x=x。对称，证明x°< I o 乙 2 2 解题思路： 本题要证明的是x 2亨 说明抛物线与直线y=x在第一?象限内有两个不同的交点；②方程/(x)-x=o可变为ax+(b-l)x+l=0,它的两根为Xi, X2,可得到Xi, X2与a. b. c之间的关系式,因此解题思路明显有三条 ①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式 的推导。现以思路②为例解决这道题： (I) 先证明 x 因为 0 c 根据韦达定理，有 X]X2=y a 1 0 a , C=axix2 2 (0)/(0),所以当 xT (0, Xi) 0t/(x) 即 x b h』 2 (II) V/(x) =ax+bx+c=a (x+—— )，+(c-汆)，(a>0) 乙d 函数/(x)的图象的对称轴为直线X=一 土，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得 X()=—7-，因为X|,X2是二次方程ax'+ (b—1) x+c=0的根，根据违达定理得，Xi+x2=——， za a V x2 — <0, a b 1 l x x X()= —— (Xi+x2— ) <~,即 Xo=T O za z a z Z 二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幕函数，可以以它为代表来研究函数 的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数 学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出 学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。 二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方 面 知识，使我们对它的研究更深入。
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