电子科技大学随机信号分析CH5习题及答案

5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。

1RRCCRCC112R

2C2题图5.1

解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数

H(j?)?1/j?C1R?1/j?C?1?j?RC

第二个图中系统地传输函H(j?)?1/j?C21?j?RC1R/j?C?1?1/j?C1?j?R2?C1?C2?R?1/j?C1第三个图中系统地传输函数

R2/j?C2H(j?)?R2?1/j?C2R1/j?C1R2/j?C2Rj?C?1?1/1R2?1/j?C2?R2?j?R1R2C1

R1?R2?j?R1R2?C1?C2?数

5.2 若平稳随机信号X(t)的自相关函数，其中，A和B都是正

常数。又若某系统冲击响应为h(t)?u(t)te?wt。当X(t)输入时，求该系统输出的均值。

解： 因为E?X??RX????A

22RX(?)?A?Be2?|?|所以E?X???A。

?1??1?H?j????? H?j0????

?w??j??w?22?1??AE??Y?t????E??X?t???H?j0???A??w??w2?? 5.3

5.4 若输入信号X(t)?X0?cos(?0t??)作用于正文图5.2所示RC电路，其中X0为[0,1]上均匀分布的随机变量，?为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且X0与?彼此独立。求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。

2

解：首先我们求系统的频率响应H(j?)。根据电路分析、信号与系统的知识，

1/j?C1H(j?)??R?1/j?C1?j?RC

然后，计算X(t)的均值与自相关函数，

mX?E?X(t)???X0?cos(?0t??)??1/2

RX(t??,t)?E??X0?cos???0?t?????????X0?cos??0t?????1/3?1/2cos??0???

可见X(t)是广义平稳的。考虑系统稳态时的解，可利用推论得出

SY(?)?SX(?)H(j?)2?1?2???????????(???0)??(???0)???22?3?1?(?RC)?2???(???0)??(???0)??????222?2(1??0RC)3于是，

RY(?)?12(1??0RC)

222cos?0??1/3

5.5

5.6 设某积分电路输入输出之间满足以下关系

Y(t)??tt?TX(?)d?

式中，T为积分时间。并设输入输出都是平稳过程。求证输出功率谱密度为

??T?SY(?)?sin?? 2??2?（提示：Y(t)?X(t)?h(t)，而

24SX(?)h(t)?u(t)?u(t?T)，是矩形方波。）

解：因为 Y(t)??t?TX(?)d? 所以h(t)?u(t)?u(t?T) 而

H?j????h?t?e????j?ttdt??h?t?e?j?tdt0T ?2sin??T/2?e?j?T/2?2

2所以 所以

H?j????T?4sin??2???2?

SY(?)?SX(?)H?j???24SX(?)?2??T?sin???2?2 5.7 5.8 5.9

5.10 若线性时不变系统的输入信号X(t)是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数