§3.1 导数的概念及其运算
1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为____________，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为________. 2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率______________＝______________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim →
Δx0
Δy
＝______________. Δx
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点__________处的____________.相应地，切线方程为__________________. 3.函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝__________________为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′. 4.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c (c为常数) f(x)＝xn (n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax 导函数 f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝__________ f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x 5.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝______________； (2)[f(x)·g(x)]′＝____________________； (3)?
f′(x)＝________ f′(x)＝____________ f′(x)＝________ f?x???g?x??′＝______________________ (g(x)≠0).
6.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积. [难点正本 疑点清源]
1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；
(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0).这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x).在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数.
2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.
(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点.点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.
1
1. f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________.
32.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8， 则f(5)＋f′(5)＝______.
3.已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.
4.已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于 3x－y＝0，则点P的坐标为________.
11
5.已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为
42 A.－3
B.2
C.－3或2
1
D. 2
( )
题型一 利用导数的定义求函数的导数
例1 求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率. 探究提高 求函数f(x)平均变化率的步骤： ①求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)； ②计算平均变化率
Δff?x2?－f?x1?＝. Δxx2－x1
解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.
利用导数的定义求函数的导数：
(1)f(x)＝(2)f(x)＝
1
在x＝1处的导数； x1. x＋2
题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：
11x2＋＋3?； (1)y＝ex·ln x；(2)y＝x?xx??1xx?－1?. (3)y＝x－sin cos ；(4)y＝(x＋1)
22?x?
探究提高 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.
求下列各函数的导数：
x＋x5＋sin x
(1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
x2xx11
1－2cos2?；(4)y＝(3)y＝－sin ?＋； 4?2?1－x1＋xcos 2x
(5)y＝.
sin x＋cos x
例3 求下列复合函数的导数： (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝3－x； π
2x＋?；(4)y＝ln(2x＋5). (3)y＝sin2?3??
探究提高 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类
2013届高考数学一轮复习教案3.1导数的概念及其运算
