利用函数性质判定方程解的存在教学设计
第四章 函数与方程
1.1 利用函数性质判定方程解的存在
教学目标
1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．
2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．
3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．
教学重点：
根据二次函数图像与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念． 教学难点：
理解零点存在性定理的内容，并会用来判断方程根的情况。 教学过程
一、导入新课 1、实例导入：
例1.判断方程x?x?6?0是否存在实数解.
22解：由题意知函数f(x)?x?x?6的图像是连续的, 因f(0)??6?0,f(4)?6?0, 故在区间[0,4]内存在x1使得f(x1)?0。因f(0)??6?0,f(?4)?14?0, 故在区间[?4,0]内存在x2使得f(x2)?0。综上可知,方程x?x?6?0有两个实数解x1,x2. 2
教师点拨：观察函数y?x2?x?6的图像，函数值有“负”，有“正”，有“零”，函数图像与x轴的交点会使得函数值为零，也即方程的根．由此导入课题，为后面的学习埋好伏笔．
CAy2、概念导入
教师直接点出课题：之前我们已经研究过函数的图像性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．
（1）概念：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
（2）思考问题1：函数的零点与方程的实数解之间有何关系？
提示：方程f(x)=0的实数根叫做函数y=f(x)的零点
二、推进新课（ 新知探究 ）
1、（ 提出问题 ）思考问题2：用函数的性质来断定方程有解的条件有哪些？
2、课堂活动 （1）活动要求：
①、需要5名志愿者参与活动，2名观察员，3名实验员。
②、其余同学注意观察活动中除2名观察员以外的其他3名同学的位置变化，得出结论。
（2）活动过程：
①选择3名同学作为实验员，在老师的指导下站好位置。
②除志愿者以外的其余同学在观察好3名同学的位置之后记录下，然后转过身去，实验全过程不得转过身。
③2名观察员全程监督实验的过程，中途不得说话。
④实验员移动方式：其中1号同学连续移动两次，末了位置与初始位置不同；2号同学移动两次后，回到原来位置；3号同学全程不移动。
B-4x2Ox14x（3）活动结束后，其余同学回答问题：
①、哪些同学确定移动过？为什么？
如果确定移动过，请问过几次？
②、哪些同学可能移动过？为什么？
③、有没有哪个同学可以确定没有移动过？为什么？ 3、探究活动
回到例1 ：方程x2－x－6＝0的实根的判断
（1）观察函数的图像发现：方程的根就是函数的图像和x轴交点的横坐标等价。
（2）思考：如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之间有什么关系？
（3）思考问题3：怎样判断函数是否有零点？
（4）思考问题4：函数的图像不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？
活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：
（1）方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标都是实数． （2）对于其他函数这个结论正确吗？ （3）函数的零点是一个实数． （4）可以利用“转化思想”．
（5）结合上面的活动内容，由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图像穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？
讨论结果：（1）方程的根就是函数的图像与x轴交点的横坐标．
（2）一元二次方程根的个数，就是二次函数图像与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数．a.当Δ＞0时，一元二次方程有两个不等的实根x1，x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)；b.当
Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实根x1＝x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点(x1,0)；c.当Δ＜0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点．
（3）方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y
北师大版高中数学必修一：4.1.1 利用函数性质判断方程解的存在 5号教学设计
