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道琼斯月度价格指数的时间序列分析
作者：邹龙杰
来源：《时代经贸》2012年第05期
【摘 要】本文选择了1980年1月份到2000年1月份共241个月份的道琼斯价格指数数据，通过对其进行进行去除趋势，季节调整等步骤得到了带有周期的yt残差序列，通过对yt进行建模，对道琼斯指数进行了3步预测，得到了基本满意的结果，文章还对残差序列建立了ARCH与GARCH模型，使得道琼斯价格指数的方差得到了预测与控制。 【关键词】道琼斯价格指；ARCH；GARCH模型
一、样本的选择及其平稳性分析
为了研究道琼斯指数月度指数价格的变化，在本文中选择了1980年1月份到2000年1月份共241个月份的数据进行分析研究。从数据中可以看出道琼斯指数有一定的季节性因素，而且在趋势也比较明显，下面进行单位根检验以及计算季节因子，以说明序列是否具有趋势项和季节性，单位检验结果：5%level t-Statistic为-1.821377，可以看出，原道琼斯指数序列不平稳，存在趋势项（带截距项的单位根检验）。采用census X12方法得到季节性不是很明显，后面将采用计量中的虚拟变量法去除这种季节性因素。 二、ARMA模型简介 1.ARMA模型的基本原理
ARMA模型（autoregressive moving-average model）是由美国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkins在二十世纪七十年代提出的时序分析模型，即自回归移动平均模型。若时间序列为它的当前与前期的误差和随机项，以及它的前期值得线性函数，可以表示为：
若，则称满足方程的平稳随机序列{}为p阶自回归模型，记为AR(p)模型。 若，则称满足方程的平稳随机序列{}为q阶移动平均模型，记为MA(q)模型。 显然，AR(p)模型和MA(q)模型都是ARMA(p，q)模型的特例。 2.ARMA模型在经济分析工作中的意义
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ARMA模型在经济预测中有着广泛的应用，与其他预测分析方法相比，此方法具有以下特点：
1）ARMA模型预测只考虑预测序列本身历史数据反映和包容的信息，几乎不直接考虑其他相关指标的信息。
2）ARMA预测方法主要适用于短期预测。
3）由于ARMA预测模型不直接考虑其他相互因素的变动，只要掌握了必要的计算手段，该预测方法比较简明，适合用于进行指标数量不大，但预测频度较高的预测工作。 因此，ARMA模型适用于单指标的短期预测工作，它对资料的要求比较单一，只需要变量本身的历史数据，在实际应用中有着广泛的适用性，对于提高分析的预见性，制定合理有效的宏观政策都有重要的意义。 3.ARMA模型进行分析预测的步骤
1）对带有趋势、季节成分的时间序列进行处理。很多经济变量都具有一定的趋势、季节及周期特征。首先应对时间序列中的趋势和季节虚拟变量进行回归，然后在回归的扰动项中引入ARMA模型来反映周期性变化。
2）根据时间序列模型自相关函数和偏自相关函数图的识别规则，建立相应的ARMA模型。若偏相关函数（PAC）截尾，而自相关函数（AC）拖尾，可断定序列适合AR模型；若PAC拖尾，AC截尾，则为MA模型；若PAC和AC均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。 3）根据AIC和SIC准则确定模型滞后阶数（p，q值）。AIC和SIC值最小的模型即是最佳的预测模型。
4）对模型进行回归并预测。若模型的各变量显著而且对模型总体评价较好，既可用模型进行预测。
三、去除趋势和季节成分
在第一节中已经分析了道琼斯指数序列具有明显的季节性与趋势因素，下面采用计量中的虚拟变量法去除季节因素，添加趋势项去除趋势项的方法进行回归来的到道琼斯指数序列的随机因素项，做如下回归：
然后对得到的残差序列应用ARMA模型分析，为道琼斯指数序列，、、为月度虚拟变量，为去除趋势和季节因素后的噪音成分。
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四、对yt建立ARMA模型
yt仅包含一些周期和随机因素；下面对残差项yt建立ARMA模型，根据上面提到的建模步骤：
首先；检验序列yt的平稳性；对yt进行单位根检验的结果如下5%level的t-Statistic为-1.942153，从检验结果可知，拒绝原假设，即yt是平稳序列；其次：根据yt的自相关系数与偏相关系数确定yt的ARMA模型的阶数；根据ARMA模型的阶数的判定准则：若偏相关函数（PAC）截尾，而自相关函数（AC）拖尾，可断定序列适合AR模型，可知yt具有一阶自相关，可见立AR(1)模型。
从回归结果看，趋势项以及AR项的回归系数均通过了t检验，显著不为零，而去除季节因素的月度虚拟变量的系数却不显著，没有通过t检验，因此，在一般的计量经济学建模中，可以去掉这些虚拟变量再进一步建立更精确的模型，在这里，先予以保留；可决系数0.995，说明此模型的拟合程度比较高，D-W值2.107，说明此模型残差项不存在序列相关，AR特征根倒数为0.85，在单位圆内，说明残差序列是平稳的；对残差项进行检验：可以看出，残差序列已基本不存在序列相关性。 五、运用已建立模型进行事后预测
运用上述模型，对2001年2、3、4月份的数据进行事后预测；预测结果如图2。
2001年2、3、4月份的预测值分别为：11152.28，10466.95，11237.24，实际值为：10128.31，10921.93，10733.92；相对误差分别为：9.7%，4.2%，3.9% 六、残差项ARCH效应分析 1.建立ARCH模型
选择9阶的ARCH滞后阶，建立ARCH模型；方差方程结果如图3。
从图3的回归结果可以看出：的系数显著不为零；因此ARCH效应还是很显著的；对新的残差序列进行5阶滞后的检验检验，可以看出残差不再具有明显的效应；但是在滞后13阶的时候，依然显示有很强的效应，由于Eviews只能提供9阶回归，下面建立模型去除效应。 2.GARCH模型的建立
很明显，对数似然值得到一步改进，AIC，SC值均变小，模型的精度进一步得到提升；
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