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第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答
一、选择题 1.极限
= （ B ）
(A)等于0； (B)不存在； (C)等于 （提示：令y?kx）
22； (D)存在且不等于0或
2、设函数，则极限= （ C ）
(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2
（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）
3、设函数
，则f(x,y) （ A ）
(A) 处处连续；
(C) 仅在（0,0）点连续；
22(B) 处处有极限，但不连续； (D) 除（0,0）点外处处连续
（提示：①在x?y?0，f(x,y)处处连续；②在x?0,y?0 ，令y?kx，
limx?0y?0kx2x2?k2x2?limx?0kx1?k2?0?f(0,0) ，故在x2?y2?0，函数亦连续。所以，f(x,y)在
整个定义域内处处连续。） 4、函数
在点
处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (B)充分而非必要条件；
(A)必要而非充分条件；
(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设
(A)
，则
= （ B ）
； (C)
；
(D)
； (B)
6、设，则 （ A ）
（A）； （B）； （C）； （D）
.
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?z?z?y? （ C ） ?x?y11（A）x?y； （B）x?y； （C）； （D）?．
22x8、设z?arctan，x?u?v，y?u?v，则zu?zv? （ C ）
yu?vv?uu?vv?u（A）2； （B）； （C）； （D）．
u?v2u2?v2u2?v2u2?v27、若z?ln(x?y)，则x9、若
(A)
；
(B)
，则
； (C)
= （ D ） ；
(D)
10、设，则 （ A ）
(A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1 11、设函数
，则点
是函数
的 （ B ）
（A）极大值点但非最大值点； （B）极大值点且是最大值点； （C）极小值点但非最小值点； （D）极小值点且是最小值点。 12、设函数
具有二阶连续偏导数，在
处，有 （ C ）
fx(P0)?0,fy(P0)?0,fxx(P0)?fyy(P0)?0,fxy(P0)?fyx(P0)?2，则
（A）点（C）点二、填空题 1、极限
= ??????? 。答：
是函数的极大值点； （B）点
是函数的极小值点；
非函数的极值点； （D）条件不够，无法判定。
2、极限=??????? 。答：
3、函数4、函数
的定义域为 ??????? 。答：的定义域为 ??????? 。答：
，
5、设函数，则= ??????? 。答：
.
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6、设函数，则
x2?y2= ??????? 。答：
2x(x?y)(x?y)x2?y2?（Qf(x?y,x?y)?）
(x?y)?(x?y)2x7、设
，则
_________ 。答：3cos5
8、函数由方程
?2z? 0 9、所确定，则、设?x2
，则= ___________ 。答：
9、函数三、计算题
的驻点是_________。答：（1，－1）
1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形. (1) z?1?x2?y2 (2)
z?ln(x?y)(3)z?1 (4)z?ln(xy?1)
ln(x?y)2222解：(1)要使函数z?1?x2?y2有意义，必须有1?x?y?0，即有x?y?1.
故所求函数的定义域为D?{(x,y)|x?y?1},图形为图3.1
(2)要使函数z?ln(x?y)有意义，必须有x?y?0.故所有函数的定义域为
22D??(x,y)|x?y?0?，图形为图3.2
(3)要使函数z?1有意义，必须有ln(x?y)?0，即x?y?0且x?y?1.
ln(x?y)故该函数的定义域为D??(x,y)|x?y?0，x?y?1?，图形为图3.3
(4)要使函数z?ln(xy?1)有意义，必须有xy?1?0.故该函数的定义域为
D?{(x,y)|xy?1}，图形为图3.4
yyx+y=0O1xO1x
.
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图3.1 图3.2
y1x+y=0O1xx+y=1-11y=1/xO-11xy
图3.3 图3.4
2、求极限
。
解： = -8
3、设函数由方程所确定，求。答：
4、设，求。
解：
四、应用题。
1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是400?2x?3y?0.01(3x?xy?3y)元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？
解：L(x,y)表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有
利润目标函数L(x,y)?(10x?9y)?[400?2x?3y?0.01(3x?xy?3y)]
2222?8x?6y?0.01(3x2?xy?3y2)?400,(x?0,y?0)，
??8?0.01(6x?y)?0?Lx令?，解得唯一驻点（120，80）.
?L?6?0.01(x?6y)?0?y????0.06?0,B?Lxy????0.01,C?L?? 又因A?Lxxyy??0.06，得
AC?B2?3.5?10?3?0.
得极大值L(120,80)?320. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.
.
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五、证明题 1、设
?(1?1)z?exy? 求证x211?z?y2?z?2z? ?x?y111111?z?e?(x?y)?1? ?z?(x?y)1? 所以 2?z2?z?(x?y)?(x?y)证明： 因为?e?2x?y?e?e?2z 2?xx?y?x?yy2? 设2sin(x?2y?3z )?x?2y?3z? 证明
?z??z?1
?x?y证明：设F(x? y? z)?2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z? 则 Fx?2cos(x?2y?3z)?1?
Fy ?2cos(x?2y?3z)?2?2?2Fx? Fz?2cos(x?2y?3z)?(?3)?3??3Fx ?
?z??Fx??Fx?1? ?z??Fy??2Fx?2?
Fz?3Fx3?xFz?3Fx3?y?z??z??Fx?Fz?1?2?1?
?x?yFzFz33于是
3、设x?x(y? z)? y?y(x? z)? z?z(x? y)都是由方程F(x? y? z)?0所确定的具有连续偏导数的函数? 证明
?x??y??z??1?
?y?z?x解：因为
F?x??Fy?y??Fz?z??x? ? ?
Fy?x?yFx?zFz所以
?x??y??z?(?Fy)?(?Fz)?(?Fx)??1?
?y?z?xFxFyFz
.
多元函数微分学复习题含答案
