2020-2021学年湖南衡阳八中高二下第一次月考理科数学卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足??′(??1)=??′(??2)=
??(??)???(??)?????
??(??)???(??)?????
，
，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣
x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（ ） A．
B．（） C．（，1） D．（，1）
2．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，若2＜a＜4则（ ）
A．f（2）＜f（3）＜f（log2a） B．f（log2a）＜f（3）＜f（2） C．f（3）＜f（log2a）＜f（2） D．f（log2a）＜f（2）＜f（3） 3．下列4个不等式：（1）
a
a
a
a
?102xdx??1?3?00xdx；（2）?sinxdx??4cosxdx；（3）
402?10e?xdx??e?xdx；（4）?sinxdx??xdxsinxdx＜xdx．能够成立的个数是（ ）
00012A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．2 5．若a＞b＞c，则使
11k恒成立的最大的正整数k为（ ） ??a?bb?ca?cx
A．2 B．3 C．4 D．5
6．证明命题：“f（x）=e+在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下： 因为f（x）=e+，所以f′（x）=e﹣，
因为x＞0，所以e＞1，0＜＜1，所以e﹣＞0，即f′（x）＞0， 所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（ ） A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是
7．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（ ）
x
x
x
x
A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 8．复数z=的虚部为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
9．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA 、OB，则复数
z1的值是（ ） z2
A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i
10．设平面?的一个法向量为n1?(1,2,?2)，平面?的一个法向量为n2?(?2,?4,k)，若?//?，则k? ( ) A．2
B．-4
C．-2
D．4
x2y211．设椭圆C：2?2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2
ab⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ） A． B． C． D．
12．过抛物线y=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛
2
BA?BC?48，物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AF?FB，则
抛物线的方程为（ ）
A．y=4x B．y=8x C．y=16x D.y2?42x
2
2
2
二、填空题
x2y213．已知椭圆：?2?1?0?b?2?，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭
4b圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是 ．
14．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是-，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是 ．
15．已知点（2，5）和（8，3）是函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象仅有的两个交点，那么a+b+c+d的值为 ．
16．已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实
轴上，则a= ．
三、解答题
17．已知点P（a，﹣1）（a∈R），过点P作抛物线C：y=x的切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）（其中x1＜x2）． （Ⅰ）求x1与x2的值（用a表示）；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．
18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
2
（Ⅰ）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？
19．已知命题p：实数m满足m﹣7am+12a＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程
表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取
值范围．
20．如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x+y﹣4y﹣4=0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．
2
2
2
2
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在“8”字形曲线上求点P，使得∠F1PF2是直角．
2a221．已知函数f（x）=﹣alnx++x（a≠0）．
x（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a∈（﹣∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤﹣e． 22．设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=． （Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．
﹣4
参考答案
1．C
【解析】试题分析：因为??′(??)=3??2?2??，由题意可知在区间[0,??]上存在??1,??2(??
??(??)???(0)
??
=??2???,所以方程3??2?2??=??2???在区间(0,??)上
??=4?12(???2+??)>0
有两个不同的解，令??(??)=3??2?2?????2+??(00
??(??)=2??2???>0解得2
【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义,属于中档题.本题是新定义的题目，应充分理解题意中关于“双中值函数”的定义，本质上就是满足??′(??1)=??′(??2)=
??(??)???(0)
??
1
=??2???,把
问题转化为一元二次方程3??2?2??=??2???在区间(0,??)上有两个不同的解问题，通过二次函数的知识列出满足条件的不等式组，求得实数??的范围. 2．B 【解析】
试题分析：因为函数f?x?对定义域R内的任意x都有f?x??f?4?x?，?f?x? 关于直线x?2对称；又当x?2时其导函数f??x?满足f??x??x?2??0，所以当x?2时，
f??x??0,f?x?在?2,???上的单调递增；同理可得，当x?2时，f?x?在???,2?单调
递减；
2?a?4，?1?log2a?2，?2?4?log2a?3，又
4?2a?16,f?log2a??f?4?log2a?,f?x?在?2,???上的单调递增；
?f?log2a??f?3??f?2a?，故选B.
考点: 1、利用导数研究函数的单调性；2、构造函数比较大小. 3．D 【解析】
试题分析：(1) 由于x??0,1?，?x?(2)
3x,由定积分的几何意义知???10xdx???130xdx；
???x??0,?,?sinx?cosx, 由定积分的几何意义知??4sinxdx??4cosxdx ；(3)
00?4?e?e?x?x2, 由定积分的几何意义知，??0edx??0e?xdx；(4) 令
1?x12f?x??x?sinx,x??0,2?，则f??x??1?cosx?0，f?x?递增，所以x?sinx，由定
积分的几何意义知??20sinxdx??xdx；综上可得正确命题有4个，故选D.
02考点: 求定积分的基本方法及定积分的几何意义. 4．D 【解析】
试题分析： 由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于
???sinx?cosx?dx???cosx?sinx??45?45?44?22，故选D.
考点: 1、定积分的几何意义；2、定积分求曲边形面积.
【方法点睛】本题主要考查定积分的几何意义及利用定积分求曲边形面积，属于中档题.一般情况下，定积分
?f?x?dx的几何意义是介于轴、曲线f?x?以及直线x?a,x?b之间的
ab曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数，所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.若是两个函数之间的面积，直接求两函数差的定积分即可（上面函数为被减数下面你函数为减数）. 5．C 【解析】
试题分析：a?b?c,?a?b?0，b?c?0，a?c?0，且a?c?a?b?b?c，又
a?ca?ba?ca?b?b?ca?b?b?cb?ca?b???2???2?2?4，b?ca?bb?ca?bb?ca?ca?c?k??,k?4，故k的最大整数为4，故选C.
a?bb?c?考点: 1、基本不等式求最值；2、不等式的性质及不等式恒成立问题. 6．A 【解析】
试题分析：综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果” ，即从“已知”看“可知”逐步推向“未知”；由上述概念知，本题是由已知条件出发，逐步推理得到结论，故本题证明
方法符合综合法，故答案为A.
考点:综合法、分析法、反证法的基本原理. 7．D 【解析】
试题分析：设复数z?bi,b?0,??3?i?z?a?i，化为?3?i?bi?a?i，即b?3bi?a?i，
?b?a?1， 3故选D.
考点: 1、纯虚数的定义；2、复数相等的性质. 8．B 【解析】 试题分析： 故选B.
考点: 1、复数的基本概念；2、复数的基本运算. 9．A 【解析】
试题分析：在复平面内，复数z1,z2对应的向量分别是OA 、OB，结合所给的图形可得
z?5?i5?i?5?i??1?i?6?4i的虚部为?2，?3?2i，?复数z???1?i1?i?1?i??1?i?2z1??2?i,z2?i，则复数
z1?2?i???1?2i，故选A. z2i考点: 1、复数的几何意义；2、复数的除法. 10．D 【分析】
根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果. 【详解】
因为?//?，所以n1//n2，?【点睛】
本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题. 11．A
1?22?2?，解之得k?4，应选答案D ?4k【解析】
试题分析：设PF2?xPF2?F1F2,?PF1F2?30?，?PF1?2x,F1F2?3x,又
PF1?PF2?2a，F1F2?2c,?2a?3x,2c?3x，?c的离心率为e?A.
考点: 1、椭圆的定义及离心率；2、椭圆的简单几何性质.
2c3?，故选2a3【方法点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率及椭圆的简单几何性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c，从而求出e ；②构造a,c的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解，本题是根据椭圆的定义及椭圆的简单几何性质利用方法①来求解的. 12．A 【解析】
试题分析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意F为线段AB的中点，故
??ABC?30?,BC?23p，AF?AC?2FD?2p，AB?2AF?2AC?4p，
BA?BC?4p?23p?cos30??48，解得p?2，所以抛物线的方程为y2?4x，故答案
为A.
考点: 1、抛物线的定义和几何性质；2、平面向量的数量积公式.
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及平面向量的数量积公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决，本题是利用（1）和抛物线的几何性质求出向量夹角后解决问题的. 13．3 【解析】
试题分析：由题意：BF2?AF2?AB?4a?8，
BF2?AF2的最大值为5，?AB的
??3??3?,B?c,????，代入椭2??2?最小值为3，当且仅当AB?x轴时，取得最小值，此时A??c,c294?b2922圆方程可得?2?1，c?4?b，??2?1，?b?3，故答案为3. 44b44b考点: 1、椭圆的简单性质；2、椭圆的定义及几何意义. 14．6? 【解析】
试题分析：由AB?BC，得?ABC的外接圆的圆心D为AC中点，如图，连接SD,BD，
由SA?SC和AB?BC有SD?AC,BD?AC，cos?SDB??3，余弦定理可得3SB?6，所以SA2?AB2?SB2，同理SC2?BC2?SB2，设SB中点为O，根据直角
三角形性质，点O到S,A,B,C四点距离都是
6，所以O为球心， 外接球的半径2R?OB?6，所以球的表面积是4?R2?6?，故答案为6?. 2
考点: 1、二面角的定义及余弦定理；2、球的面积公式. 15．18 【解析】 试题分析：
?2,5?,?8,3?是两曲线的交点?5??k2?a?b①，3??k8?a?b②， ①
-②得?k8?a?2?a?2，k???1,k?0可得a?2或a?8时不合题意，只2?a?83时合题意，?k?8?a?2?a??2，同理得k?c?2?c?8??2，?10?2a?2c?10，
?a?c?10，同样的方法可以求出b?d?8，a?b?c?d?18，故答案为18.
考点: 1、曲线的交点与曲线方程之间的关系；2、曲线上的点与曲线方程之间的关系. 【思路点晴】本题主要考查曲线的交点与曲线方程之间的关系以及曲线上的点与曲线方程之间的关系，属于难题.要解答解本题，首先根据?2,5?,?8,3?是两曲线的交点，可以将这两点的坐标分别代入两曲线方程，再分三种情况讨论（两种情况不合题意），分别得到a?c?10，
b?d?8，两式相加即可.
16．1 【解析】
z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，∵z在复平面内对应的点在实轴上，∴a－1＝0，从而a＝1. 17．（Ⅰ）x1?a?a2?1,x2?a?a2?1；（II）3?. 【解析】
?试题分析：（Ⅰ）由y?x可得，y??2x，直线PA与曲线C相切，且过点P?a,?1?，
2x12?12，即x1?2ax1?1?0，可求出x1，同理可求出x2；（Ⅱ）以点P为圆心的圆E2x1?x1?a与直线AB相切，利用d?r建立r与a的函数关系，r?式求最值，进而求得圆E面积的最小值． 试题解析：（Ⅰ）由y?x可得，y??2x，
22a2?24a?12，平方后利用基本不等
直线PA与曲线C相切，且过点P?a,?1?，
2a?4a2?4x12?12?a?a2?1，或?2x1?，即x1?2ax1?1?0，?x1?2x1?ax1?a?a2?1，
同理可得：x2?a?a2?1，或x2?a?a2?1．
x1?x2，?x1?a?a2?1,x2?a?a2?1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x1?x2?2a,x1?x2??1，
2y1?y2x12?x2则直线AB的斜率k???x1?x2，
x1?x2x1?x2?直线的方AB程为：y?y1??x1?x2??x?x1?，又y1?x12，
2?y?x1??x1?x2?x?x12?x1x2，即2ax?y?1?0．
点P到直线AB的距离即为圆E的半径，即r?22a2?24a?12，
?213??21?3?21?922a??22???a????a???4a?1a?1????44?4?2?4?16?????r2? ?21114a?1a2?a2?a2? 44421?9393???a2?????2??3，
1?24?162??16?a2??4??当且仅当a2?1?491??16?a2??4??，
即a2?213时取等号． ?，a??244故圆E面积的最小值S??r2?3?．
考点: 1、利用导数求切线斜率；2、直线与圆的位置关系及利用基本不等式求最值. 18．（Ⅰ）EF平面PAC，证明见解析；（II）BE?3?2. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先由三角形中位线的性质得到线线平行，再根据直线与平面平行的判定定理可证EF平面PAC；（Ⅱ）先根据线线垂直向量数量积为零求出平面PDE的法向量，再根据空间两条直线的夹角余弦公式BE的值.
试题解析：（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行． 在?PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
?EFPC又EF?平面PAC，而PC?平面PAC， ?EF平面PAC．
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，则P?0,0,1?,B?0,1,0?，D?3,0,0，
?设BE?x0?x?3，则E?x,1,0?，设平面PDE的法向量为m??p,q,r?，
???3p?r?0??m?PD?0?由?，得?，
x?3p?q?0???m?DE?0 ???令p?1，则m?1,3?x,3，
而AP??0,0,1?，依题意PA与平面PED所成角为45?，
??m?AP2??所以sin45??2m?AP1?解得BE?x?3?3?x?3?2，
3?2 或BE?x?3?2?3 （舍）．
故BE?3?2 时，PA 与平面PDE所成角为45? ． 考点: 1、线面平行的判定；2、直线和平面所成的角. 19．
13?a?. 38【解析】
试题分析：化简命题p、q分别求出m的范围，再根据非q是非p的充分不必要条件等价于p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不等式组即可. 试题解析：由m?7am?12a?0?a?0? ，则3a?m?4a
22即命题P:3a?m?4a
x2y23??1表示焦点在y轴上椭圆可得：2?m?m?1?0 ，?1?m? ， 由
m?12?m2
3即命题q:1?m?，
2
由非q为非p充分不必.要条件，则p是q的充分不必要条件
?3a?113?,从而有：???a?. 34a?38??2
考点: 1、充分条件与必要条件；2、原命题与逆否命题的等价性.
x2y2??1；20．（1）（2）44【解析】
?6,2 ，?6,2，?6,?2，
??????6,?2.
?试题分析：（1）根据圆的方程求出半圆的圆心和半径，求得圆与x轴的交点，即有a?2，令y?2，解得交点，代入双曲线方程，解得b，进而得到双曲线的方程；（2）求出焦点坐标，?F1PF2是直角，则设P?x,y?，则有x?y?8，联立两半圆的方程及双曲线方程，
22解得交点，注意检验，即可得到所求的P的坐标.
试题解析：（1）上半个圆所在圆方程是x?y?4y?4?0，则圆心为?0,2?，半径为22．
22则下半个圆所在圆的圆心为?0,?2?，半径为22．双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为??2,0?，?2,0?，即a?2 ，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y?2 ，解得，x??22 ．即有交点为?2,2 ．设双曲线的方程为
??x2y284??1a?0,b?0，则?2?1，且a?2，解得b?2．则双曲线的方程为??2a2b2ab
x2y2??1. 44
（2）双曲线的左、右焦点为F1?22,0,F222,0 ， 若?F1PF2是直角，则设p?x,y?，则有x?y?8，
22????22??x?y?822x?6,y?2， 由?2解得，2??x?y?4
22??x?y?8由?2解得，y??1 ，不满足题意，舍去． 2??x??y?2??8
故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为
?6,2 ，?6,2，?6,?2，
??????6,?2．
?考点: 1、待定系数法求双曲线的标准方程；2、曲线交点与曲线方程之间的关系. 21．（Ⅰ）a?1或a??3；（II）a?0时，f?x?在?2a,???上单调递增，在?0,2a?上2单调递减；a?0时，f?x?在??a,???上递增，在?0,?a?上递减； (III)证明见解析. 【解析】
试题分析：（I）先对f?x?进行求导，由f??1???2可求a；（II）
?x?a??x?2a?a2a2f??x????2?1?，通过比较?a与2a的大小、解不等式
xxx2f??x??0,f??x??0，从而可求函数单调区间；(III) 由（II）可知，当a????,0?时，
函数f?x?的最小值f??a?，结合已知可求a，然后结合巳知单调性g?a?max?g?e?4，从而可证．
??a2a2试题解析：（I）由已知可知f?x? 的定义域为?xx?0? ，f??x????2?1?x?0?，
xx根据题意可得，f??1??2???1???2，??a?2a2?1??2，?a?1或a??3； 2?x?a??x?2a?a2a2（II）f??x????2?1? ，①a?0时，由f??x??0，可得x?2a，
xxx2由f??x??0
可得0?x?2a，?f?x?在?2a,???上单调递增，在?0,2a?上单调递减；②a?0时，由由f'?x??0得0?x??a，在?0,?a?f'?x??0得x??a，?f?x?在??a,???上递增，上递减；
(III) 由（II）可知，当a????,0?时，函数f?x?的最小值f??a?，故
g?a??f??a???aln??a??3a，则g??a???ln??a??4，令g??a??0可得?ln??a??4?0，?a??e?4，当a变化时，g??a?,g?a?的变化的情况如下表
?a??e?4是g?a?在???,0?上的唯一的极大值，从而是g?a?最大值点，当a?0时，
g?a?max?g??e?4???e?4?a?0时，g?a???e?4.
考点: 1、利用导数研究函数的单调性、研究函数的最值及切线斜率；2、证明不等式成立. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值及切线斜率、证明不等式成立，属于难题，利用导数研究函数f?x?的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数f?x?的定义域；②对f?x?求导；③令f??x??0，解不等式得的范围就是递增区间；令f??x??0，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数
f?x?的极值及最值.
22．（Ⅰ）3?i；（Ⅱ）?5?m?1. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据复数的模长公式列方程解出a值即可；（Ⅱ）先根据复数乘除运算法则化简复数，再由复数的几何意义列出关于m的不等式组进行化简求解. 试题解析：（Ⅰ）z?a?i,z?10， ?z?又
a2?1?10，即a2?9，解得a??3，
a?0，
?a?3，?z?3?i；
（Ⅱ）
z?3?i,则z?3?i，?z??m?i??1?i??m?5?m?1i， m?i?3?i?1?i22?1?i??1?i??m?5?0??m??5m?i?2又复数z?得?，?M?R? 对应的点在第四象限，??m?11?im?1??0???2??5?m?1.
考点: 1、复数模的概念及复数的几何性质；2、复数的乘法、除法运算法则.
【思路点晴】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算和复数模的概念及复数的几何性质，
属于中档题．解题时一定要注意i2??1和运算的准确性，否则很容易出现错误．解本题的关键是先利用复数的模长公式列方程解出a的值，然后根据复数的乘法、除法的运算法则和
i的性质化简z?m?i，最后再根据复数的几何意义求出m的范围. 1?i
2020-2021学年湖南衡阳八中高二下第一次月考理科数学卷
