第7课时 直线的方向向量与平面的法向量
教学过程
一、 问题情境
为了用向量来研究空间的线面位置关系,首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”.如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢? 二、 数学建构
问题1 过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线,在《平面解析几何初步》中如何用数学语言刻画直线的方向的?
解 直线的倾斜角、直线的斜率,并用直线的倾斜角和斜率研究了两条直线平行和垂直关系.
问题2 必修4《平面向量》这一章中是用什么数学语言刻画直线的方向的?
解 直线的方向向量,并用直线的方向向量研究了两条直线平行和垂直关系.
直线l的方向向量:我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.
问题3 平面有“方向”吗?
通过展示平面的不同位置,使学生通过观察知道平面也有“方向”. 问题4 如何用向量来刻画平面的“方向”?
通过模型观察、类比研究、共同讨论寻找出“平面的法向量”来刻画平面的方向.
活动1 类比直线的方向向量,与平面平行的直线的方向向量行吗?
观察发现不行,方向不确定.
活动2 与平面垂直的直线的方向向量行吗?
解 行,根据线面垂直关系,面的垂线方向确定,面的“方向”就确定.
平面α的法向量:如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α.此时,我们把向量n叫做平面α的法向量.
概念理解
与平面垂直的直线叫做平面的法线,因此,平面的法向量就是平面法线的方向向量. 三、 数学运用
【例1】 (教材第99页例1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:错误！未找到引用源。是平面ACD1的法向量.[3]
(见学生用书P61)
[处理建议] 可用向量数量积的定义证明错误！未找到引用源。与平面ACD1中两个不共线向量分别垂直;也可用待定系数法求出平面ACD1的法向量,再证明错误！未找到引用源。与此向量共线.
[规范板书] 证法一 不妨设正方体的棱长为1,以{错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),
D-xyz,则
(例1)
所以 错误！未找到引用源。=(1,1,1),错误！未找到引用源。=(-1,1,0),错误！未找到引用源。=(-1,0,1).
因为 错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=1×(-1)+1×1+1×0=0,所以 错误！未找到引用源。⊥错误！未找到引用源。.同理 错误！未找到引用源。⊥错误！未找到引用源。.
又AC∩AD1=A,所以DB1⊥平面ACD1,从而错误！未找到引用源。是平面ACD1的法向量.
证法二 设平面ACD1的一个法向量为a=(x,y,z),
则a⊥错误！未找到引用源。a⊥错误！未找到引用源。,从而a·错误！未找到引用源。=0,a·错误！未找到引用源。=0.
因为 错误！未找到引用源。=(-1,1,0),错误！未找到引用源。=(-1,0,1),
所以错误！未找到引用源。
即错误！未找到引用源。 解得错误！未找到引用源。 不妨取y=z=x=1,所以a=(1,1,1)就是平面ACD1的一个法向量. 而错误！未找到引用源。=(1,1,1),故错误！未找到引用源。∥a, 所以错误！未找到引用源。是平面ACD1的法向量.
[题后反思] (1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,错误！未找到引用源。⊥平面ACD1是一个重要的结论,以前用综合法证明,这里用向量坐标法证明,可让学生分析比较各自的优点,以便今后灵活运用.
(2) 求平面的法向量,先找是否有与平面垂直的直线;若没有,再用待定系数法.
变式 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=错误！未找到引用源。,求平面SCD的一个法向量.
[规范板书] 解 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则D错误！未找到引用源。,C(1,1,0),S(0,0,1),
所以错误！未找到引用源。=(1,1,-1),错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
(变式)
设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),
直线的方向向量与平面的法向量学案
