专题5常用的解题方法
在考试说明中要求学生能够灵活运用所学的数学知识、思想方法，解决实际问题.纵观近五年高考对数学方法的考查是灵活多样的，总体上说有下列一些数学方法常被考到：数形结合法、换元法代数换元、三角换元等、反证法、特殊值法、待定系数法、配方法等.
1．(2020·苏北四市)若斜率为1的直线l与圆x＋y＝2相切，则l的方程为________．(待定系数法)
解析：设直线的方程为y＝x＋a，此直线和圆相切， 则2＝
|a|1＋1
2
2
2
2
，得a＝±2.
答案：x－y±2＝0
2．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]＋f(x)的最大值是________．(换元配方法) 解析：∵函数y＝[f(x)]＋f(x)的定义域为
??1≤x≤9，
?2
?1≤x≤9，?
2
2
2
2
2
∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]，
2
∴y＝(t＋2)＋2t＋2＝(t＋3)－3， ∴当t＝1时，ymax＝13. 答案：13
3．在三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分则其体积之比为________．(持例法)
1解析：将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ，则有VC－A1AB＝VA1－ABC＝VABC32
－A1B1C1，VA1－BCC1B1＝VABC－A1B1C1.
3
答案：2∶1
4．(2020·南通三模)若动点P在直线l1：x－y－2＝0上，动点Q在直线l2：x－y－6＝0上，设线段
PQ的中点为
2
M(x0，y0)，且(x0－2)2＋(y0＋2)2≤8，则x20＋y0的取值范围是________．(数形结合法)
解析：设点P(x1，y1)满足x1－y1－2＝0，点Q(x2，y2)满足x2－y2
相加得：点M(x0，y0)轨迹是直线x0－y0－4＝0；同时又要求点M(x0，y0)＋(y0＋2)≤8，所以满足条件的点M在定线段AB上．如图，x0＋y0表示
2
2
2
－6＝0，两式满足(x0－2)
2
线段AB上的点
M到原点距离MO的平方．MOmax＝AO＝4，MOmin＝OC＝22，
所以MO∈[8,16]． 答案：[8,16]
5．(2020·金陵中学)定义在[1，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(2x)＝cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)＝1－|x－3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝________.(综合法)
1?31?解析：当2≤x≤4时，极大值点为(3,1)；当1≤x≤2时，f(x)＝(1－|2x－3|)，极大值点为?，?，
c?2c?1
1－
cc－1??x??当4≤x≤8，f(x)＝c?1－?－3??，极值点为(6，c)，由＝得c＝1或2. 36－3??2??
3－2
答案：1或2
2
[典例1]
已知函数f(x)＝2x＋mx＋n，求证|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1.(反证法) [证明] 假设原命题不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于1. |f1|<1??
则?|f2|<1??|f3|<1
2
－1<2＋m＋n<1??
??－1<8＋2m＋n<1??－1<18＋3m＋n<1
?
－3 ?－9<2m＋n<－7， ②??－19<3m＋n<－17. ③ ①＋③得－11<2m＋n<－9， 与②矛盾，所以假设不成立， 即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1. 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法．当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法． [演练1] 求证：2是无理数．(反证法) 证明：假设2是有理数， 则存在互质的整数m，n使得2＝， 则m＝2n，故m＝2n. 所以m是偶数，从而m必是偶数，故设m＝2k(k∈N)． 从而有4k＝2n，即n＝2k. 则n也是偶数，这与m，n互质矛盾． 所以假设不成立，2是无理数． [典例2] 已知a＋b＝1，x＋y＝1.求证：ax＋by≤1.(比较法、分析法、综合法、换元法、数形结合法、构造向量法) 112222 [证明] 法一：(比较法)∵1－(ax＋by)＝(1＋1)－(ax＋by)＝(a＋b＋x＋y)－(ax＋by) 2212222 ＝[(a－2ax＋x)＋(b－2by＋y)] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 2 2 mn122 ＝[(a－x)＋(b－y)]≥0，所以ax＋by≤1. 2法二：(分析法)要证ax＋by≤1. 只需证1－(ax＋by)≥0， 即2－2(ax＋by)≥0， 因为a＋b＝1，x＋y＝1. 所以只需证(a＋b＋x＋y)－2(ax＋by)≥0， 即(a－x)＋(b－y)≥0. 因为最后的不等式成立， 所以原不等式成立． 法三：(综合法)∵ax≤∴ax＋by≤ ＋ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a2＋x2 2 ，by≤ b2＋y2 2 ， a2＋x2b2＋y2 2 2 ＝1. 即ax＋by≤1. 法四：(三角换元法)∵a＋b＝1，x＋y＝1， ∴可设a＝sin α，b＝cos α，x＝sin β，y＝cos β. ∴ax＋by＝sin αsin β＋cos αcos β＝cos(α－β)≤1， 法五：(数形结合法)(如图)因为直线l：ax＋by＝0经过圆x＋y2 2 2 2 2 2 ＝1的圆心半径1， O，所以圆上任意一点M(x，y)到直线ax＋by＝0的距离都小于或等于圆 |ax＋by|即d＝＝|ax＋by|≤1 a2＋b2?ax＋by≤1. 法六：(构造向量法)：设α＝(a，b)，β＝(x，y)，由向量数量积的性质知|α·β|≤|α||β|， 即|ax＋by|≤ a＋b x＋y＝1， 所以ax＋by≤1. 六种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法．除了证法三的方法有适应条件的限制这种局限外，其余证法都是好方法．可在具体应用过程中，根据题目的变化需要适当进行选择． [演练2] 已知x＋y＝1，求x＋y的最小值．(综合法、配方法、数形结合法) 解：法一：∵x＋y＝1，∴y＝1－x. 2 2 2 2 2 2 x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2?x－?2＋. 2 ?? 1? ? 12 1122 ∴当x＝时，x＋y取最小值. 22 122 ∴x＋y的最小值为. 2 法二：∵x＋y＝1，∴(x＋y)＝1，即x＋y＝1－2xy. ∵2xy≤x＋y，∴x＋y≥1－(x＋y)． 1122 即x＋y≥，当且仅当x＝y＝时取等号． 22122 ∴x＋y的最小值为. 2法三：设z＝x＋y. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?1?2?1?21122 ∵x＋y＝1，∴z＝x＋y－x－y＋1＝?x－?＋?y－?＋≥. ?2??2?22 11122 ∴当x＝y＝时，z最小＝，即x＋y的最小值为. 222 法四：如图，x＋y＝1表示直线l，x＋y表示原点到直线l上的点的距离的平方．显然其中以原点到直线l的距离最短． |0＋0－1|222222 此时，d＝＝，即(x＋y)最小＝.所以x＋y的最 222 [典例3] 1 小值为. 2 2 2 点P(x，y)到原 ruuruuuruuuruuur2uuuruuuuruuu已知△ABC中满足(AB)＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，a、b、c分别是△ABC的三边． (1)试判断△ABC的形状并求sin A＋sin B的取值范围； (2)若不等式a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)≥kabc对任意的a、b、c都成立，求k的取值范围．(换元法) 2 2 2 ruuruuuruuuruuur2uuuruuuuruuu[解] (1)∵(AB)＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB uuuruuuruuuruuuruuur＝AB·(AC＋CB)＋CA·CB， uruuuruuuruuuruu＝AB·AB＋CA·CB， uuuruuur∴CA·CB＝0，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形， ?π?A∈?0，π?， ∴sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝2sin?A＋?，∴sin A＋sin B的取值范围为(1，2]. ?4?2???? (2)在直角△ABC中，a＝csin A，b＝ccos A. 若a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)≥kabc对任意的a、b、c都成立， 2 2 2 a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b则有≥k对任意的a、b、c都成立， abca2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b12222 ＝3·[csinA(ccos A＋c)＋ccosA(csin A＋c)＋ abccsin Acos Ac2(csin A＋ccos A)]
（江苏专用）2020年高考数学二轮复习（数学思想方法部分）专题5常用的解题方法学案
