一类二次多项式系统的二阶平均分析
王志萍
【摘 要】运用二阶平均原理,证明一类平面多项式系统的二次多项式扰动存在唯一的极限环.
【期刊名称】《山西大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2006(029)004 【总页数】2页(P362-363)
【关键词】极限环;平均法;多项式系统 【作 者】王志萍
【作者单位】华东师范大学,职业技术学院,上海,200062 【正文语种】中 文 【中图分类】基础科学
山西大学学报 ( 自然科学版)29(4):362 ～363 ，2006 Journal of
ShanxiUniversity(Nat.Sci.Ed.) 文章编号 ：0253-2395(2006)04-0362-02一类 二次 多项 式 系统 的 二 阶平均 分析王 志 萍(华东师范大学 职业技术学 院 ，上海 200062)摘 要 ：运 用 二 阶平 均原 理 ，证 明一 类 平 面 多项 式 系统 的二 次 多项 式扰动存在唯一 的极 限环关键词 ：极 限环 ；平均 法 ；多项 式 系统中图 分类号 ：0174.14文献标识码 ：A具有 中心 的平面多项式系统在 行 次多项式扰动下 的极 限环个数是近几十年来动力 系统研究 中的核心 问 题之一 ， 即 Hilbert-Arnold 问题， 经 十几年 的努力 ，仅对 2 次 Hamilton 系统 的 2 次扰
动 ，证 明通有 情形下环 性为 2 ，见 [1].在文 [2] 中，作 者研究一 类具有 充满奇 点 直线 的 2 次 中心 的 卵 次扰动 问题． 运 用 一 阶平均 原 理 ，证明系统至少可 以 围绕 中心 的闭轨族扰动 出 挖 个极 限环． 本文考虑 以 下 系统极 限环数 目的二次平均估计x=- y(l+z)+e(ar+F(x,y》 ,(1) y— z(1+z)+e( 口y+G(z,y)),其 中 F(z，y) ，G(x ，y) 为 2 次齐次多项式， 未扰系统为 中心 (0 ，0) 和一条充满奇点 的不变直线 z+1 一 0 ． 设 F(z ，y) 一 ∑H ， 一。 口，，，xy ’，G(x ，y) 一 ∑i+ ，一2b ，，，x y'.我们证明 a
2 ．。 一 O,ao ． 2 一 一 bi，l ，a-0 ， (2)时 ， 一 阶平均 函数恒 等于 0 ．定理 1在条件 (2) 下 ，考虑二 阶平均 函数 ，系统 (1) 有 唯一 的极 限环．作极坐标变换 z — rcos0 ，y=rsin0 ，r>0 ，系统 (1) 等价 于 dr 砑 一 盯（ r ，0 ）+e2g （ ， ． ，臼 ）+O( ￡3) ， (3)其 中厂 （ r ， 伊 ）-ar ± cosOF+sinOG,g(r，曰 )— (ar+cosOF+sinOG)(cos OG-sinOF)~+~coso r(1+rcos0)2——‘由平均原理 （ 见 [3]） ，我们知一 阶平均 函数尸 (r) 一 去 r 厂 （ ， ．，臼 ） d 曰一 —上二 2ID／r 兰 i‘ （ 盘z ．。 一 拿 ） P2+(a2.0+2a+8)p+2（ 口 一 az.o ） ） ，(4)其 中 车 一 - （ 以。，。+b ，，，） ． 记 ／ -=P ，则有， 0 一 一 1 一 P210／ 丁
二.i 尹‘ （ a2 ． 。 一 手 ） P2+(a2.0+2a+ 拿)p+2 （ 口 一
a2 ． o ） ） ．由 盘 ，搴 ，a 。，。的任意性 ，可知在 (O ，1) 中，尸 有 2 个零点． 于是 由平均原理考虑一 阶平均 函数． 系 统 (1) 有 2 个极限环． 当 fO三O ，即 (2) 成立 时 ，须 由二阶平均 函数判 断系统 的环性． 此时 ，系统简化为 x=-y(l+x)+ ￡（一 b1.ly2+al,lxy) (5) y= r(l+z)+~(bo.zY2+ bl.lxy+bz.or2).收稿 日期 ：2005-12-20作者简介 ：王志萍 (1972-) ．女 ， 山西太原人 ，工学硕士 ，教 师， of ShanxiUniversity(Nat.Sci.Ed.)文章编号 ：0253-2395(2006)04-
0362-02王志萍 (摘要：运 用 二 阶平 均原 理 ，证 明一 类 平 面 多项 式 系统 的二 次 多项 式扰动存在唯一 的极 限环具有 中心 的平面多项式系统在 行 次多项式扰动下 的极 限环个数是近几十年来动力 系统研究 中的核心 问题之一 ， 即 Hilbert-Arnold 问题， 经 十几年 的努力 ，仅对 2 次 Hamilton 系统 的 2 次扰动 ，证 明通有 情形下环性为 2 ，见 [1].在文 [2] 中，作 者研究一 类具有 充满奇 点 直线 的 2 次 中心 的 卵 次扰动 问题． 运 用 一 阶平均 原理 ，证明系统至少可 以 围绕 中心 的闭轨族扰动 出 挖 个极 限环． 本文考虑 以 下 系统极 限环数 目的二次平均估计 x=-》, (1) y—z(1+z)+e(口y+G(z,y)),，y)，G(x为2次齐次多项式， 未扰系统为 中心 (0 ，0) 和一条充满奇点 的不变直线 z+1 一 0 ． 设 F(z一∑H，一。 口，，，xy’∑i+ ，一2b，，，x a2．。O,ao．bi，l ，a-0时一 阶平均 函数恒 等于 0 ． dr砑盯（r，0）+e2g（，臼 ）+O(￡3) ，厂 （伊）- ar±cosOF+sinOG,g(r OG - sinOF) ~+~coso尸 (r)去r 厂 （ ， ．，臼 ） d 曰一 —上二盘z ．。 一 拿 ） P2+(a2.0+2a+8)p+2口az.o） (4)01P 210／ 丁 二.i 尹a2。手P2+ (a2.0+2a+拿)p+2o由盘，搴 ，a。，。的任意性 ，可知在 (O ，1) 中，尸 有 2 个零点． 于是 由平均原理考虑一 阶平均 函数． 系 统 (1) 有 2 个极 x= y(l+x)+￡（b1.ly2+ al,lxy)王志萍 ：一类二次多项式系统的二阶平均分析 363相应 的平均化系统为 （ 参见 [3 ，4] ） d ， 鬈 一 ￡。 fO(r)+e2gO(r), (6)其 中 go一 去 ． i ” g （ ， ． ，曰 ） d0 ，且令 z(r) 一 一 去 i” ： ， （ ， ． ，口 ） dOdt，有尸 。 一 2faf(a_tc ， ．,O)dOdt+ 瓢” % 掣zcr ， d 口一 瓢 ” 驾 t(r,O)dOdt ．二 阶平均 函数为 Az(r)=fo+go(r).此时 ，可知厂 （ r ，护 ）一 r ‘ b0.2+ 笔 0)sin0 一 ， （ r ，汐 ） sin0 ，— 1+rc 其 中 77=a1.1+b2.O-b0.2 ，故 f10 -0 ． 因此 ，我们有 A2 一 go 一 21j:'g(r，口 ， d0= 赤 r 盟1011产d 咿 ， H （ r ，臼 ）一 r27cos3 矽+ （ 62．。 一 7 ） r2cos 护+61 ·1r2sin 护 ，由留数定理可知 故计算易得 去f开‰d 汐一 1 1 押1
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