2024年
第2讲 函数与方程
[考情考向分析] 求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现．
热点一 函数的零点 1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
22
例1 (1)已知f(x)＝＋x－，则y＝f(x)的零点个数是( )
|x|
xxA．4 B．3 C．2 D．1 答案 C
22|x|2|x|2
解析 令＋x－＝0，化简得2＝2－x，画出y1＝2，y2＝2－x的图象，由图可知，图象有两个交点，即函
|x|
xx数f(x)有两个零点．
(2)关于x的方程(x－2x)e－(t＋1)(x－2x)e－4＝0(t∈R)的不等实根的个数为( ) A．1 B．3 C．5 D．1或5 答案 B
解析 设f(x)＝(x－2x)e，则f′(x)＝(x＋2)(x－2)e，所以函数f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→0，f(－2)＝(2＋22)
22
22x2
xxxe?2,f(0)＝0，f(2)＝(2－22)e2,当x→＋∞，f(x)→＋∞，由此画出函数y＝f(x)的草图，如图所示．
2024年
关于x的方程(x－2x)e－(t＋1)(x－2x)e－4＝0，
令u＝f(x)，则u－(t＋1)u－4＝0，Δ＝(t＋1)＋16>0，故有两个不同的解u1，u2， 又u1u2＝f(－2)f(2)＝－4， 所以不等实根的个数为3.
思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有 (1)函数零点大致存在区间的确定． (2)零点个数的确定．
(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．
解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．
??x＋2，x∈[0，1?，跟踪演练1 (1)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝?2
?2－x，x∈[－1，0?，?
2
2
2
222x2x
且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)
＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 答案 B
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)的周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象，
图中，g(3)＝3－log23>1＝f(3)，
g(5)＝3－log25<1＝f(5)，
可得有两个交点，所以选B.
(2)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②?x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，1
则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是( )
2A．5 B．6 C．7 D．8 答案 A
解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．
热点二 函数的零点与参数的范围
解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
2024年
1??a＋，x>0，
例2 (1)(2024·浙江省重点中学联考)已知a∈R，函数f(x)＝?x??e－x，x<0，
若存在三个互不相等的实数
f?x1?f?x2?f?x3?
x1，x2，x3，使得＝＝＝－e成立，则a的取值范围是________．
x1x2x3
答案 (－∞，－2e) 解析
f?x1?f?x2?f?x3?＝＝＝－e成立，等价于方程f(x)＝－ex有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，即函数y＝x1x2x3
f(x)的图象与直线y＝－ex有三个不同的交点，易知直线y＝－ex与y＝e－x的图象相切，已有一个交点，只需
1122
直线y＝－ex与曲线y＝a＋(x>0)有两个不同的交点即可，由－ex＝a＋，得ex＋ax＋1＝0，∴Δ＝a－4e>0，
xx解得a>2e或a<－2e，又方程的两个根之和为正数，故－>0，∴a<0.综上所述，a<－2e.
e
??e，x≤0，
(2)(2024·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝?
?ln x，x>0，?
xa
g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围
是( ) A．[－1,0) C．[－1，＋∞) 答案 C
解析 令h(x)＝－x－a， 则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
B．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a的取值范围为[－1，＋∞)． 故选C.
思维升华 (1)方程f(x)＝g(x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数． (2)关于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范围就是函数y＝f(x)的值域．
2024高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第2讲 函数与方程学案
