第4节 直线、平面平行的判定及其性质
考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
知 识 梳 理
1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理
文字语言 平面外一条直线与此平面内的一图形表示 符号表示 判定定理 条直线平行，则该直线平行于此平面 一条直线和一个平面平行，则过a?α，b?α， a∥b?a∥α 性质定理 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理
判定定理 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 图形表示 符号表示 a?α，b?α，a∩b＝P， a∥β，b∥β?α∥β 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α，b⊥α?a∥b. (2)a⊥α，a⊥β?α∥β. [常用结论与易错提醒] 1.平行关系的转化
α∥β，a?α?a∥β α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
2.平面与平面平行的六个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( ) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.
(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(2024·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 C.充分必要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若m?α，n?α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A. 答案 A
3.下列命题中正确的是( )
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，则b∥α 解析 根据线面平行的判定与性质定理知，选D. 答案 D
4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点， 所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案 平行
5.用一个截面去截正三棱柱ABC－A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于E，
F，G，H四点，已知A1A>A1C1，则截面的形状可以是________(把你认为可
能的结果都填上).
解析 由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形. 答案 矩形或梯形
6.设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线. (1)若α∥γ，β∥γ，则α与β的关系是________； (2)若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α与β的关系是________. 解析 (1)由α∥γ，β∥γ?α∥β.
(2)a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，从而α∥β. 答案 (1)平行 (2)平行
考点一 线面、面面平行的相关命题的真假判断
【例1】 (1)(2024·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面
(2)(一题多解)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析 (1)若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当无数条直线互相平行时，α与β可能相交；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是α∥β的充要条件.
(2)法一 对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项不正确.
图(1) 图(2)
法二 对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面
MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.
答案 (1)B (2)A
规律方法 (1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，
无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.
(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.
②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
【训练1】 (1)(2024·杭州质检)已知三个不同的平面α，β，γ和直线m，n，若α∩γ＝
m，β∩γ＝n，则“α∥β”是“m∥n”的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(2)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m?α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).
解析 (1)可知当“α∥β”时有“m∥n”，反之，不一定成立，则“α∥β”是“m∥n”的充分不必要条件，故选A.
(2)①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m?β，故③错误；④α∥β或
α与β相交，故④错误.
答案 (1)A (2)②
考点二 直线与平面平行的判定与性质角度1 直线与平面平行的判定
【例2－1】 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.
多维探究
(1)证明：MN∥平面PAB； (2)求四面体N－BCM的体积. 2
(1)证明 由已知得AM＝AD＝2.
3
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝
浙江省2024届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第4节直线平面平行的判定及其性质含解析
