微分方程单元测试解答2024-发送

1．求微分方程y??e2x?y满足初始条件yx?0?0的特解．（2分） 12解：分离变量得：eydy?e2x2x，积分 ?eydy??e2x2x，得通解ey?e2x?C 1分 代入初始条件得C?，即特解为12ey?12x(e?1)2 2分 xx?x2．已知三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解为y1?2e,y2?3xe,y3?4e，写出这个微分方程. （2分） 解：可知y1,y2,y3三个解线性无关，因此通解为y?c1y1?c2y2?c3y3 ?c12ex?c23xex?c34e?x?C1ex?C2xex?C3e?x?(C1?C2x)ex?C3e?x 特征根为?1??2?1,?3??1，特征方程为(??1)(??1)?0 ……..1分 2?3??2???1?0进面对应的微分方程为：y????y???y??y?0……………..2分 3已知y1?e3x?xe2x，y2?ex?xe2x，y3??xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该微分方程的通解为（ ），说明理由.（2分） （A）（C）y?C1e3x?C2ex； （B）y?C1e2x?C2ex?e3x； y?C1e2x?C2ex?e3x； （D）y?C1e3x?C2ex?xe2x 选D（结论1分，理由1分） e3x理由：y1?y3?e,y2?y3?e为对应齐次方程的解，且x?常数线性无关，因此为e3xx齐次的通解，非齐的通解为齐次的通解加非齐的一个特解。 4、求微分方程y???5y??4y?3?4x的通解. （2分） 解： 特征方程为 r2?5r?4?0解得 r1??1，r2??4 对应的齐次方程通解为 Y?C1e?x?C2e?4x 1分 又??0不是特征方程的根，设y*?ax?b， 代入原方程，得5a?4ax?4b?3?4x 解得 y*??x?2 所以方程的通解为y?C1e 广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 4 页，第 1 页

?x?C2e?4x?x?2. .………2分

5、如图，设函数y?f(x) (0?x???)满足条件：（1）（2）平行于Oy轴的动直线f(0)?0，0?f(x)?ex?1；yMP2 ?1 y?exMN与曲线y?f(x)和y?ex?1分别相交于点P1和P2，且曲线y?f(x)、直线MN与Ox轴所围成封闭图形的面积 S恒等于线段P1P2的长度。求曲线y?f(x)的方程. （2分）解：依题意有 y?f(x)P1O S N x?x0f(x)dx?(ex?1)?f(x)，求导f(x)?ex?f?(x)，f?(x)?f(x)?ex……1分 ?dxdx1f(x)?e?(?ex?e?dx?C)?e?x(?e2xdx?C)?ex?Ce?x 2由f(0)?0，代入上式，得C??11x?x，f(x)?(e?e) ……2分 22以上为课堂测验题，满分10分。 ********** 补充题：求一阶连续可导函数f(x)，使其满足f(x)?sinx??f(x?t)dt. 0x答：y?(cosx?sinx?e?x)，对了加2分，否则不得分 12

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