第1讲 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．
知 识 梳 理
1．函数的基本概念 (1)函数的定义
一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． (5)分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．
分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 2．函数定义域的求法
类型 2nx满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)＞0 各个函数定义域的交集 使实际问题有意义 fx，n∈N* 1与[f(x)] 0fxlogaf(x) 四则运算组成的函数 实际问题
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
精彩PPT展示
x2
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(×)
x(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×) (3)函数是特殊的映射．(√)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×) 2．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( ) A．f(x)＝|x| C．f(x)＝x＋1
解析 将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等． 对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；
对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)； 对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)； 对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，
故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C. 答案 C
3．(2014·山东卷)函数f(x)＝1
logx－1
的定义域为( 2A．(0,2) C．(2，＋∞)
解析 由题意知???
log2x－1＞0，
??
x＞0，
解得x＞2，故选C.
答案 C
?1，x＞0，4．设f(x)＝?
?0，x＝0，
??1，x＜0，
g(x)＝???
1，x为有理数，
??
0，x为无理数，
A．1 C．－1
解析 g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0. 答案 B
5．已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，则a＝________. 解析 令2x＋1＝a，则x＝
a－1
2
，
B．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝－x
)
B．(0,2] D．[2，＋∞)
则f(g(π))的值为( )
B．0 D．π
3
则f(2x＋1)＝3x－4可化为f(a)＝3
因为f(a)＝4，所以答案
19 3
a－1
2
－4，
a－1
219
－4＝4，解得a＝.
3
考点一 求函数的定义域
例1 (1)(2015·杭州模拟)函数f(x)＝1－2＋A．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] 3,1]
lg
(2)函数f(x)＝A．(－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) ∞)
??1－2≥0，
解析 (1)由题意知?
?x＋3＞0，?
xx1
x＋3
的定义域为( )
B．(－3,1] D．(－∞，－3)∪(－
x＋1
的定义域是( )
x－1
B．[－1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋
解得－3＜x≤0，所以函数f(x)的定义域为(－3,0]，
故选A.
lg
(2)要使函数f(x)＝故选C.
答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合 ，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式．(2)对于实际问题中求得的函数解析式，在确定定义域时，除了要考虑函数解析式有意义外，还要使实际问题有意义．
【训练1】 (1)函数f(x)＝A．(－∞，2) C．(2,3)∪(3，＋∞)
1log2x－2
的定义域为( )
B．(2，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
x＋1
有意义，需满足x＋1＞0且x－1≠0，得x＞－1且x≠1，
x－1
?1?2(2)函数f(x)＝ln?1＋?＋1－x的定义域为________．
?
x?
??log2x－2
解析 (1)由题意知?
?x－2＞0，?
≠0，
??x≠3，
解得?
?x＞2，?
所以函数f(x)的定义域为
(2,3)∪(3，＋∞)．
1
1＋＞0，??x(2)由条件知?x≠0，
??1－x≥0
2
x＜－1或x＞0，??
??x≠0，??－1≤x≤1
?x∈(0,1]．
答案 (1)C (2)(0,1] 考点二 求函数的解析式
x?1?例2 (1)如果f??＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )
?x?1－x1A.
xB．
1
x－1
C.
1 1－x1
D．－1
x(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
?1?(3)已知f(x)满足2f(x)＋f??＝3x，则f(x)＝________.
?x?
1
t111
解析 (1)令t＝，得x＝，∴f(t)＝＝，
xt1t－1
1－
t∴f(x)＝
1. x－1
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
??a＝2，∴?
?b＋5a＝17，?
??a＝2，
解得?
?b＝7，?
∴f(x)＝2x＋7.
?1?(3)∵2f(x)＋f??＝3x，
?x?
x1
把①中的x换成，得 3?1?2f??＋f(x)＝.
?x?
x
3
①×2－②得3f(x)＝6x－，
x1
∴f(x)＝2x－(x≠0)．
x1
答案 (1)B (2)2x＋7 (3)2x－(x≠0)
x规律方法 求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法，若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法，已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法，由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)方程法，已知关于f(x)与
f??或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程?x?
组求出f(x)．
?1?
?1?21
【训练2】 (1)已知f?x＋?＝x＋2，则f(x)＝________.
?
x?
x?1?(2)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f??·x－1，则f(x)＝________. x??
?1?21?1?2
解析 (1)∵f?x＋?＝x＋2＝?x＋?－2，
?
x?
x?x?
11
且x＋≥2或x＋≤－2，
xx∴f(x)＝x－2(x≥2或x≤－2)． 1?1?(2)在f(x)＝2f??x－1中，用代替x，
2
?x?
xx1?1?得f??＝2f(x)－1，
x???x?
?1?2f将f??＝
x?1?－1代入f(x)＝2f??x－1中，
?x?x21
可求得f(x)＝x＋.
33
212
答案 (1)x－2(x≥2或x≤－2) (2)x＋
33考点三 分段函数
例3 (1)(2014·山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
?log28－x，x≤0，?
???fx－1－fx－2，x＞0，
则f(3)的值为( )
B．2
A．1
高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第1讲 函数及其表示
