2019届高考数学创新题专题
231、已知集合A?{x|x?a0?a1?3?a2?3?a3?3}，其中ak?{0,1,2}(k?0,1,2,3)，
且a3?0.则A中所有元素之和等于（ ）
A．3240 B．3120 C．2997 D．2889 2、函数f(x)=ax+bx +c (a?0) 的图象关于直线x=－
2b对称.据此可推测，对任意的非2a零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程 m[f(x)]2+nf(x) +p=0的解集都不可能是 （ ） A. ?1,2? B .?1,4? C .?1,2,3,4? D. ?1,4,16,64? 3、对数列{an}，如果?k?N及?1,?2,**,?k?R，使an?k??1an?k?1??2an?k?2???kan成立，其中n?N，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论： ① 若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列； ② 若{an}是等差数列，则{an}为2阶递归数列；
2③ 若数列{an}的通项公式为an?n，则{an}为3阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B.1 C.2 D.3 4、如图，半径为2的⊙O与直线MN相切于点P，射线PK 从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交 ⊙O于点Q，设?POQ为x，弓 形 PmQ的面积为S?f(x)，
MOQmNP那么f(x)的图象大致是（ ）
S 4? 2? S 4? 2? S 4? 2? S 4? 2? O ?2? x O ?2? x O ?2? x O ?2? x A B C D
5、在空间直角坐标系中，对其中任何一向量X?(x1,x2,x3)，定义范数||X||，它满足以下
性质： (1)||X||?0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数?，
||?X||?|?|?||X||（注：此处点乘号为普通的乘号）。（3）||X||?||Y||?||X?Y||。
第 - 1 - 页
在平面直角坐标系中，有向量X?(x1,x2)，下面给出的几个表达式中，可能表示向量
X的范数的是____（把所有正确答案的序号都填上）
2 （1）x12?2x2 （2）2x1?x2 （3）x1?x2?2 （4）x1?x2 2222226、如图，已知平面???l，A、B是l上的两个点，C、D在平面?内，且
DA??,CB??,AD?4，AB?6,BC?8，在平
面?上有一个动点P，使得?APD??BPC，则
? P A D
C
B
P?ABCD体积的最大值是（ ）
A.243 B.16 C.48 D.144
7、已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）．现对这些点进行往返标数（从A→B →A→B→…进行标数，遇到同方向点不够数时就
A612534B“调头”往回数）．如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n的点称为点n），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2019都被标记到点上．则点2019上的所有标数中，最小的是 ．
8、有连续的自然数1、2、3、…、n，去掉其中一个数后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n的最小值是
9、从1到k这k个整数中最少应选m个数才能保证选出的m个数中必存在三个不同的数可构成一个三角形的三边长。(1)若k=10，则m= （2）若k=2019，则m= 10、由19条水平直线与19条竖直直线组成的18?18的围棋棋盘中任选一个矩形， （1）有 种不同的选法；（2）所得矩形为正方形的概率为
11、下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间0,1中的实数m对应数轴上 的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个 圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为0,1，如图3.图3中直 线AM与x轴交于点Nn,0，则m的象就是n，记作fm(ⅰ)方程fxn.
0的解是x ;
(ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①f??1???1； ②f?x?是奇函数; ?4?1?③f?x?在定义域上单调递增; ④f?x?的图象关于点??,0? 对称． ?2?第 - 2 - 页
12、F是抛物线y?2px?p?0?的焦点，过焦点F且倾斜角为?的直线交抛物线于A,B2两点，设AF?a,BF?b，则： ①若??60且a?b，则②a?b??a的值为______； b______（用p和?表示）. ??aii?1n13、若正整数N?ai?N，称T??ai为N的一个“分解积”，
*i?1?n（1） 当N分别等于6,7,8时，它们的 “分解积”的最大值分别为 （2） 当N=3m+1 （m?N）时，它的 “分解积”的最大值为 14、若An?a1a2将排列ana1a2*an(ai?0或1,i?1,2,则称An为0和1的一个n位排列．对于An，,n)，
an?1记为R1(An)；将排列an?1ana1an?2记为R2(An)；依此类推，直
,n?1)，它们对应位置数字相同的个
ni至R(An)?An．对于排列An和R(An)(i?1,2,ii数减去对应位置数字不同的个数，叫做An和R(An)的相关值，记作t(An,R(An))．例1i1如A3?110，则R(A3)?011， t(A3,R(A3))??1．若t(An,R(An))??1(i?1,2,,n?1)，
；
则称An为最佳排列． （Ⅰ）写出所有的最佳排列A3
（Ⅱ）若某个A2k?1(k是正整数)为最佳排列，则排列A2k?1中1的个数 ．
??1,x?M,15、对于集合M，定义函数fM(x)??对于两个集合M，N，定义集合
1,x?M.?M?N?{xfM(x)?fN(x)??1}. 已知A{2,4,6,8,10}，B{1,2,4,8,16}.（1）用
列举法写出集合A?B= ；（2）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，当Card(X?A)?Card(X?B)取最小值时集合X的可能情况有 种。 16、若对于正整数k,g(k)表示k的最大奇数因数，例如g(3)?3，g(10)?5.设
Sn?g(1)?g(2)?g(3)?g(4)??g(2n)．
（1）则S2= （2）Sn? 17、若数列{An}满足An?1?An2，
则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，
a1?2，点(an,an?1)在函数f(x)?2x2?2x的图像上，其中n 为正整数．
（Ⅰ）证明数列{2an?1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an?1)}为等比数列；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即
Tn?(2a1?1)(2a2?1)?（2an?1)，求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；
（Ⅲ）记bn?log2an?1Tn ，求数列?bn?的前n项和Sn，并求使Sn?2012的n的最小值．
第 - 3 - 页
18、已知函数f(x)?x?x，f'(x)为函数f(x)的导函数．
（Ⅰ）若数列{an}满足an?1?f'(an)，且a1?1，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1?b，bn?1?f(bn)．（ⅰ）是否存在实数b，使得数列{bn}是等差数列？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若b>0，求证：
2bi1?． ?bbi?1i?1n19、直线l1:y?kx?1?k(k?0,k??)与l2:y?1211x?相交于点P.直线l1与x轴交22于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列P 1,Q1,P2,Q2，…，点Pn(n?1,2,)的横坐标构成数列?xn?.
（1）当k?2时，求点P1,P2,P3的坐标并猜出点Pn的坐标(不用证明)； （2）证明数列?xn?1?是等比数列，并求出数列?xn?的通项公式；
222（3）比较2|PPn|与4k|PP1|?5的大小.
20、在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?，对一切正整数n，点Pn位于函数y?3x?差数列?xn?． （I）求点Pn的坐标；
（II）设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?,中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn
2的顶点为Pn，且过点Dn(0,n?1)，记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：
135的图象上，且Pn的横坐标构成以?为首项，?1为公差的等42111????； k1k2k2k3kn?1kn**（III）设S?x|x?2xn,n?N,T?y|y?4yn,n?N，等差数列?an?的任一项
????an?ST，其中a1是ST中的最大数，?265?a10??125，求?an?的通项公式．
21、已知数列An:a1,a2,2,an(n?N*,n?2)满足a1?an?0，且当2?k?n(k?N*)时，(ak?ak?1)?1，令S(An)??a．
ii?1n（Ⅰ）写出S(A5)的所有可能的值； （Ⅱ）求S(An)的最大值；
第 - 4 - 页
(n?3)2（Ⅲ）是否存在数列An，使得S(An)?？若存在，求出数列An；若不存在，说明
4理由．
22、将正整数2019表示成n个正整数x1,x2,x3,（I）当n?2时，x1,x2取何值时s有最大值.
（II）当n?5时，x1,x2,x3,x4,x5分别取何值时，s取得最大值，并说明理由.
（III）设对任意的1≤i?j≤5且|xi?xj|≤2,当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取得最小值，
并说明理由.
xn之和.记s?1?i?j?n?xi?xj.
2019届高考数学创新题专题
参考答案 1 2 3 4 5 6 C D D D D (1)(4) 5、解析：知当且仅当X为零向量时，X=0 因此可以排除(2),(3). 现在探索一下（1）是否满足性质（3）a2?2b2?m2?2n2?(a?m)2?2(b?n)2
?2abmn?a2n2?b2m2 这是显然成立的，所以（1）满足性质（3） 又（1）显然满足性质（2）；所以（1）能表示X的范数
同理可以知道（4）也可以表示所以经过验证后可以知道正确的是（1）（4） 7、 3 8、30
9、 (1)若k=10，则m= 6 （2）若k=2019，则m= 17 10（1）有 29241 种不同的选法；（2）所得矩形为正方形的概率为11、
解析：(i) f(x)?0则x?1;
237 513(ii) 当m?1时，∠ACM=?,此时n??1故f(1)??1 ①错
424f(x)的定义域为(0,1)不关于原点对称 ②错
显然随着m的增大,n也增大;所以f?x?在定义域上单调递增 ③对
又整个过程是对称的,所以 ④对
12、① 3 ；
2p?tan2??1?2p②AB?或
tan2?sin2?m-113、（1） 9；12；18
（2）4?3
14、解：（Ⅰ）最佳排列A3为110，101，100，011，010，001． （Ⅱ） A2k?1?a1a2a2k?1(ai?0或1,i?1,2,,2k?1)，得
第 - 5 - 页
高考理科数学创新题专题(13页,含详解)
