2024届四川省棠湖中学高三上学期
第二次月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 号贴在答题卡上的指定位置。
位 封座2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。
密 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
号一、单选题
不场考1．已知 ，复数
，则 A． -2 B． 1 C． 0 D． 2
2．设集合 ， ，则 订 A． B． C． D．
3．已知等差数列 的前 项和为 ， ，
，则 取最大值时的 为
装 号A． 4 B． 5 C． 6 D． 4或5
证考4．某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为1的等腰直角三角形，则该准四棱锥的表面积为
只 卷 名姓
此 A． B． C． D．
5．“
”是“ ”的 A． 充分不必要条件 B． 充要条件
级班C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
6．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 等于 A． B． C． D． 7．已知 满足
，则
A．
B． C． D．
8．设奇函数f (x )的定义域为R , 且 , 当x 时f (x)＝ , 则f (x )在区间 上的表达式为
A． B． C． D．
9．△ABC所在平面上一点P满足 ，则△PAB的面积与△ABC的面积之比为 A． 2∶3 B． 1∶4 C． 1∶3 D． 1∶6
10．已知两点 ，若曲线 上存在点 ，使得 ，则正实数 的取值范围为
A． B． C． D．
11．已知 是椭圆
的左焦点，经过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为
A．
B．
C．
D．
12．已知偶函数 ，且 ，则函数
在
区间 的零点个数为
A． 2024 B． 2016 C． 1010 D． 1008
二、填空题
13．设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值是_______
14．二项式
的展开式中常数项为______. （用数字表达）
15．若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是______
16．已知 分别为 的三个内角 的对边， ，且
， 为 内一点，且满足 ，则
__________．
三、解答题
17．已知在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ， ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）若边长 ，求 周长的最大值.
18．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同不（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表：（单位：人）
几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （1）能否据此判断有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 ，求 的分布列及数学期望 .
附表及公式
. 19．如图，已知四棱锥 的底面为菱形，且 ， 是 中点. （Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若 ， ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
20．设抛物线 的焦点为 ，准线为 .已知以 为圆心，半径为4的圆与 交于 、 两点， 是该圆与抛物线 的一个交点， .
（1）求 的值；
（2）已知点 的纵坐标为 且在 上， 、 是 上异于点 的另两点，且满足直线 和直线 的斜率之和为 ，试问直线 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.
21．已知函数 . （Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的
， 恒成立，求实数 的取值范围；
（III）设函数 ，
，过点
作函数 的图象
的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列 ，求数列 的所有项之和的值.
22．在直角坐标系 中，圆 的参数方程为
（ 为参数），以 为极点， 轴的
非负半轴为极轴建极坐标系，直线 的极坐标方程为
（Ⅰ）求 的极坐标方程；
（Ⅱ）射线
与圆C的交点为 与直线 的交点为 ，求 的范围．
23．已知 ， ， ．证明： （Ⅰ） ； （Ⅱ） ．
2024届四川省棠湖中学高三上学期
第二次月考数学（理）试题
数学 答 案
参考答案 1．D 【解析】
分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值． 详解：因为
，
所以 ， 即 .故选D．
点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力． 2．D 【解析】 【分析】
根据二次函数不等式的解法得到集合B，再根据集合交集的概念得到结果. 【详解】
集合 , ，则 .
故答案为：D. 【点睛】
高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．
3．B 【解析】
由 为等差数列，所以
，即 ，
由 ，所以 ， 令 ，即
，
所以 取最大值时的 为 ， 故选B． 4．B 【解析】
如图，由三视图可知，四棱锥即为边长为1的正方体上的四棱锥 ， 则四棱锥 的表面积为 ， 故选B．
点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
5．C 【解析】 【分析】
根据条件得到“
”，当a和b小于0时，不能推导出 ，反之根据函数的单调性
由 一定能得到
.
【详解】
由“
”构造函数y=
是减函数，当a和b小于0时，不能推导出 ；反之 ，则一定有a>b,函数y=
是减函数，一定有“
,故“
”是“ ”的
必要不充分条件.
故答案为：C. 【点睛】
判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则
命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
6．A 【解析】 【分析】
由已知可得P（ ）=1﹣P（ ）﹣P（ ）=0.70，再由对称性可得P（ ）的值． 【详解】
由随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ ）=P（ ）=0.15， 可得μ ，且P（ ）=1﹣P（ ）﹣P（ ）=1﹣0.15﹣0.15=0.70， ∴P（ ）=
P（ ）=0.35． 故答案为：A． 【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
7．A 【解析】 【分析】
根据两角和差的余弦公式得到原式可化为
，代
入余弦值求解即可.
【详解】
根据两角和差的余弦公式得到
，因为
,得到sin = 或 代入得到结果为 .
故答案为:A. 【点睛】
三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=
;形如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2 “1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan
等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.
8．B 【解析】
【分析】
由（fx+4）=f（x），可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围[﹣2，0]转化到 上，则f （x ）在区间 上的表达式可求．
【详解】
当x∈ 时，﹣x∈[0，2]， ∴﹣x+4∈[4，6]，
又∵当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1， ∴f（﹣x+4）=2
﹣x+4
+1．
又∵f（x+4）=f（x）， ∴函数f（x）的周期为T=4， ∴f（﹣x+4）=f（﹣x）， 又∵函数f（x）是R上的奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴﹣f（x）=2
﹣x+4
+1，
∴当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣2﹣x+4
﹣1．
故选：B． 【点睛】
本题综合考查函数的周期性、奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内.
9．C
【解析】
试题分析：由已知得， ，解得 ，所以 ，作图如下：
设点 到线段的距离是，所以.
考点：向量的线性运算 10．D 【解析】
分析：由 可以得到 在圆 ，此圆与题设中的圆至少有一个公共点，所以两圆位置关系是相交或相切，利用圆心距小于等于半径之和且大于等于半径之差的绝对值可得 的取值范围．
详解：因为 ，所以点 在圆 ，
又点 还在圆
，故 ， 解不等式有 ，故选B．
点睛：此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）如果 为定点，且动点 满足 ，则动点 的轨迹为圆； （2）如果 中， 为定长， 为定值，则动点 的轨迹为一段圆弧． 11．C 【解析】
在 中，设 ,右焦点E,由椭圆的对称性，知 是平行四边形，所以在 中，由余弦定理得
,
，选C.
【点睛】
本题的关键是要看到椭圆的对称性把 ，转化到焦点 中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。
12．A 【解析】
依题意，当 时， 对称轴为 ， 由 可知，函数 的周期 令 ，可得
求函数
的零点个数，即求偶函数 与函数 图象交点个数
当 时，函数 与函数
图象有 个交点
由
知， 当 时函数 与函数
图象有 个交点
故函数 的零点个数为 故选
点睛：本题考查了函数的零点个数问题，先运用函数的周期性和对称性，求解出函数解析式并画出函数图像，结合函数是偶函数，只需要计算正方向的交点即可，运用了数形结合的思想，综合性较强。
13． 【解析】 【分析】
先根据条件画出可行域，设z=2x-y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x-y，过可行域内的点A（﹣6，﹣3）时的最小值，从而得到z最小值即可．
【详解】
x，y满足约束条件 的可行域如图：
在坐标系中画出可行域△ABC，A（﹣6，﹣3），B（0，1），C（6，﹣3），
由图可知，当x=﹣6，y=﹣3时，则目标函数z=2x-y的最小，最小值为﹣9． 故答案为：﹣9． 【点睛】
借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作
【100所名校】2024届四川省棠湖中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
