21．已知函数f（x）＝x－2x＋2alnx，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．
（1）求实数a的取值范围； （2）证明：f(x1)?f(x2)?ln2?（二）选考题：
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1:?2
3?0． 2?x?a(1?sint),（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极
?y?acostπ（ρ∈R）． 6点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:??（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（2）若直线C3的方程为y??3x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为23，求a的值．
23．已知函数f（x）＝|4x－1|－|x＋2|． （1）解不等式f（x）＜8；
（2）若关于x的不等式f（x）＋5|x＋2|＜a－8a的解集不是空集，求a的取值范围．
高三数学考试参考答案（理科）
1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．A 11．C 12．D 13．－10 14．5 15．?3 16．（p，＋∞） 17．解：（1）设数列{an}的公差为d，因为a7－a2＝10， 所以5d＝10，解得d＝2．
2因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以a6?a1a21，
2
即（a1＋5×2）＝a1（a1＋20×2），解得a1＝5． 所以an＝2n＋3． （2）由（1）知bn?所以bn?2
11?， anan?1(2n?3)(2n?5)111(?)， 22n?32n?5所以Sn?1111111n[(?)?(?)?L?(?)]?， 257792n?32n?55(2n?5)由
n2?，得n＝10．
5(2n?5)2518．解：不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）． （1）因为点E是D1O的中点，
所以点E的坐标为(,,1)．
uuuuruuuruuur11所以OD1?(?1,?1,2)，DE?(,,1)，DC?(0,2,0)．
22uruuurur??p?DE?0,p?(x,y,z)设是平面CDE的法向量，则?u ruuur??p?DC?0,1?1?x?y?z?0,即?2， 2??2y?0.ur取x＝2，则z＝－1，所以平面CDE的一个法向量为p?(2,0,?1)．
1122uuuururuuuururOD1?p?1?2?2?(?1)230rur?所以cosOD1,p?uuuu． ??2222215|OD1||p|(?1)?(?1)?2?2?(?1)所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为
230． 15uuuuruuur（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设D1E??EO． uuuuruuur显然OC?(?1,1,0)，OD1?(?1,?1,2)．
uruuur?ur??x?y?0,?m?OC?0,设m?(x,y,z)是平面CD1O的方向量，则?u，即． ruuuur???x?y?2z?0,??m?OD1?0,ur取x＝1，则y＝1，z＝1，所以平面CD1O的一个法向量为m?(1,1,1)．
uuuuruuur??2因为D1E??EO，所以点E的坐标为(,,)．
??1??1??1uuuruuur??2所以DE?(,,)，DC?(0,2,0)．
??1??1??1ruuur?2??r?x?y?z?0,?n?DE?0,?设n?(x,y,z)是平面CDE的法向量，则?ruuu即???1． r??1??1??n?DC?0,??2y?0.r??取x＝1，则z??，所以平面CDE的一个法向量为n?(1,0,?)．
22urrurr?因为平面CDE⊥平面CD1O，所以m?n，即m?n?0，1??0，解得λ＝2．
2uuuur|D1E|ur?2时，平面CDE⊥平面CD1O． 所以λ的值为2．即当uu|EO|19．解：（1）由题知t?3，y?47，
?tyii?15i?852，
?(t?t)ii?1n2?10，
?(y?y)ii?1nn2?2278，
则r??(t?t)(y?y)iii?1?(t?t)?(y?y)iii?1i?1nn?2?ty?ntyiii?1n?(t?t)?(y?y)iii?1i?1nn 2?147147147???0.97?0.75．
2278025695150.94故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．
（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则
1013P(A)?C3()?，
28故所求概率为P?1?P(A)P(A)?63． 64②若选择方案一，则需付款1000－100＝900（元），
若选择方案二，设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000．
1313P(X?700)?C3()?；
28113P(X?800)?C32()2??；
2281131P(X?900)?C3??()2?；
2281013P(X?1000)?C3()?．
281331所以E(X)?700??800??900??1000??850（元），
8888因为850＜900，所以选择方案二更划算． 20．解：（1）由题可知2ab?22，a＋b＝3，
2
2
解得a?2，b＝1．
x2?y2?1． 所以椭圆C的方程为2（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
|BM|??．N（x3，y3）， |BN|uuuur2uuur22∵OM?OA，∴M(x1,y1)，
333uuuruuuur22∴BM?(x1?x2,y1?y2)，BN?(x3?x2,y3?y2)．
33uuuuruuur22又∵BM??BN，∴(x1?x2,y1?y2)??(x3?x2,y3?y2)，
332??12??1即x3?x1?x2，y3?y1?y．
3??3??22??12(x1?x2)2??123??∵点N（x3，y3）在椭圆C上，∴?(y1?y)?1，
23??22x12(??1)2x24(??1)x1x222(?y)?(?y)?(?y1y2)?1．即（*） 122229?2?23?242x12x222?y1?1，①?y2?1，② ∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴22又直线OA，OB斜率之积为?yy1xx1，∴12??，即12?y1y2?0，③
x1x2222将①②③代入（*）得
49?2?(??1)2?2?1，解得??13． 1821．（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，＋∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2， 所以f'(x)?2x?2?2
2a?0在（0，＋∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2， x即x－x＋a＝0在（0，＋∞）上有两个不相等的根x1，x2．
???1?4a?0,所以?
a?0,?解得0?a?1． 42
（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x－x＋a＝0的两个不等的实根，
?x1?x2?1,1所以?其中0?a?．
4?x1x2?a,22故f(x1)?f(x2)?x1?2x1?2alnx1?x2?2x2?2alnx2
＝（x1＋x2）2－2x1x2－2（x1＋x2）＋2aln（x1x2） ＝2alna－2a－1，
1．故g'（a）＝21na＜0， 4113所以g（a）在(0,)上单调递减，则g(a)?g()??ln2?，即
4423f(x1)?f(x2)?ln2??0．
2令g（a）＝2alna－2a－1，其中0?a?22．解：（1）消去参数t得到C1的普通方程：（x－a）＋y＝a． C1是以（a，0）为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ带入C1的普通方程，得到C1的极坐标方程ρ＝2acosθ． （2）C3的极坐标方程??将??
2
2
2
5π（ρ∈R）， 3π5π，??代入ρ＝2cosθ，解得?1?3a，ρ2＝a， 631ππ32?3a?a?sin(?)?a?23，解得a＝2． 2632则△OMN的面积为
???3x?3,x≤?2?1?23．解：（1）由题意可得f(x)???5x?1,?2?x?,，
4?1?3x?3,x≥??4
吉林省名校2024届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题Word版含答案
