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高等数学 第四章不定积分课后习题详解

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第4章 不定积分

内容概要

名称 不 定 积 分 计 算 方 法 性 质 不 定 积 分 的 概 念 设主要内容 f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 上的不定积分,记为 或dF(x)?f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I?f(x)dx?F(x)?C 注:(1)若(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则f(x)连续,则必可积;F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性质1:性质2:性质3: 第一换元 积分法 (凑微分法) 第二类 换元积 分法 分部积分法 有理函数积分 d?f(x)dx??f(x)dx; f(x)dx??f(x)或d???????dx?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C; ?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。 设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有换元公式: ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x则 ??(t)单调、可导且导数不为零,f[?(t)]??(t)有原函数F(t),?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(??1(x))?C ?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处理按情况确定。 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题,实质上是求被积函数的原函数问题;后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入,同学们会慢慢体会到! 课后习题全解

习题4-1

1.求下列不定积分:

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知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!

★(1)

?xdx2x

52思路: 被积函数

1x2x?52?x?,由积分表中的公式(2)可解。

解:

?xdx22?2??xdx??x?C

3x1x)dx

3★(2)

3?(x?思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

3解:?(3x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?x3?2x2?C

4x??11312131241★(3)(2?x?x2)dx

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

2x13(2?x)dx??2dx??xdx??x?C 解:?ln23x2x2★(4)

??x(x?3)dx

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:

2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C

53212533x4?3x2?1★★(5)?x2?1dx

3x4?3x2?112?3x?思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积22x?1x?1分。

3x4?3x2?1123dx?3xdx?dx?x?arctanx?C 解:?22??x?11?xx2★★(6)?1?x2dx

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x2x2?1?11??1?思路:注意到

1?x21?x21?x2,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。

x21dx?dx?解:???1?x2dx?x?arctanx?C.

1?x2注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。

★(7)(?x134-+3-4)dx 2xxx思路:分项积分。 解:(-x13411?3?4+-)dx?xdx?dx?3xdx?4xdx ?2xx3x4????2x134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 42332(??1?x21?x2)dx

★(8)

思路:分项积分。 解:(?3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 22??221?x1?x1?x1?x★★(9)

?xxxdx

111??248思路:xxx??看到xxx?x解:

?x78,直接积分。

?8xxxdx??xdx?x8?C.

151?x2(1?x2)dx

7815★★(10)

思路:裂项分项积分。 解:

111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x2(1?x2)?x21?x2?x2?1?x2xe2x?1dx ★(11)?xe?1e2x?1(ex?1)(ex?1)xxdx??dx?(e?1)dx?e?x?C. 解:?xx?e?1e?1★★(12)

xx3?edx

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高等数学 第四章不定积分课后习题详解

精品第4章不定积分内容概要名称不定积分计算方法性质不定积分的概念设主要内容f(x),x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均有F?(x)?f(x)f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。上的不定积分,记为或dF(x)?f(x)的全部原函数称
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