电磁学部分
解析：1．空腔内有电荷存在时，由于静电感应，空腔1、2及3的表面将分别感应出电量为?q1、?q2和?q3的电荷。由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面也必然感应出等量的同种电荷，所以，导体球的外表面的感应电荷总量为q1?q2?q3。由于静电屏蔽，点电荷q1及感应电荷（?q1）在空腔外产生的电场为零；点电荷q2及感应电荷（?q2）在空腔外产生的电场为零；点电荷q3及感应电荷（?q3）在空腔外产生的电场为零。因此，在导体球外没有电荷时，导体球外表面的电量q1?q2?q3应作球对称分布。
当球外P点处放置电荷Q后，由于导体球不接地，所以，球面上的总电量不变，仍为
?q1?q2?q3?，但由于静电感应，这些电荷在球面上将不再均匀分布，由球外的Q和重新分
布在球面上的电荷?q1?q2?q3?在导体球内各点产生的合场强为零。
O3处的电势应由位于P点处的Q、导体球表面的电荷?q1?q2?q3?及空腔3表面的感应电荷（?q3）共同产生。无论?q1?q2?q3?在球面上如何分布，球面上的电荷到O点的距离
q1?q2?q3Q， Q在O点产生的电势为k，这两部分R2R电荷在O3点产生的电势U?与它们在O点产生的电势相等，即有
都是R，因而在O点产生的电势为kQ??Q?2q1?2q2?2q3??q?q2?q3U??k?1???k?? （1）
R2R2R????因q3放在空腔3的中心处，其感应电荷?q3在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O3
点产生的电势为
?q3 r根据电势叠加定理，O3点的电势为
U???k(2)
?Q?2q1?2q2?2q3q3?U?U??U???k??? (3)
2Rr??故q3的电势能为
?Q?2q1?2q2?2q3q3?W?q3U?kq3??? (4)·
2Rr??2．由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q1仅受到腔内壁感应电荷?q1的静电力作用，因q1不在空腔1的中心O1点，所以感应电荷
?q1在空腔表面分布不均匀，与q1相距较近的区域电荷面密度较大，对q1的吸力较大，在
空腔表面感应电荷的静电力作用下，q1最后到达空腔1表面，与感应电荷?q1中和。同理，
电磁学部分
空腔2中q2也将在空腔表面感应电荷?q2的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷?q2中和。达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化。O3的电势仍由球外的电荷Q和导体球外表面的电量?q1?q2?q3?及空腔3内壁的电荷?q3共同产生，故O3处的电势U与q3的电势能W仍如(3)式与(4)式所示。
说明：由于静电屏蔽，点电荷q1及感应电荷（?q1）在空腔内表面以外的区域产生的合电场为零，因而，它们对腔外空间的电场无贡献。腔外区域的电场只由腔外的电荷来决定。所以，腔外各点的电势也由腔外的电场决定。这一点我们可以用电势的定义来理解：因为电场中某点的电势等于把单位正电荷由该点移动到参考点电场力做的功。所以，题中腔1、2中的（q1、－q1）、（q2、－q2）对O3点的电势均没有贡献。
从本题的求解以及静电平衡的特点我们可以得到静电屏蔽的一些特点：
1．封闭导体球壳（不论接地与否）内的电场只由壳内带电体及壳的内壁形状决定，不．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．受壳外电荷的影响；接地封闭导体球壳外部电场不受壳内电荷的影响。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．在壳内空间带电体的电量给定的情况下，虽然壳内电荷在壳外空间（通过在壳外壁．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．感应出等量电荷）间接引起电场，（所谓间接引起电场并不是说q本身不在壳外激发电场，．．．．．．．
而是指q以及由它在壳内壁感应的等量负电荷在壳外空间激发的合场强为零。）但壳外电场．．．．．的场强与电势完全由壳的外壁所带的电量以及壳外空间带电体的电量、形状及配置决定。那．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．种认为壳外电场与壳内电场分布总是有某些联系的想法是不对的，也就是说，不接地导体壳内的电荷（如q）除了使壳的外壁多了一份电量q之外，对壳外电场并无其他影响！
上述结论有些可以在电磁学范围内证明，有些则需要在电动力学范围内利用 “唯一性定理”才能证明，对中学生来说，可以采用“类比”的方法理解。
例题4
如图4所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内一
A 直径上的P1和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，q1＝
r q2＝q，两点电荷到球心的距离均为a。由静电感应与静电屏蔽
P2 ??P1 可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等a a O R 于－2q。空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内表面上的
感应电荷共同产生的。由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强。但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的
图4 位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷
应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个
?与q1共同产生的电导体壳去掉，由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷q1场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等
?与q2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0。这样确定效）点电荷q2的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的。等效电荷取代感
?和q1、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或?、q2应电荷后，可用等效电荷q1电磁学部分
场强。
?的位置及电量。 ?、q21．试根据上述条件，确定假想等效电荷q12．求空腔内部任意点A的电势UA。已知A点到球心O的距离为r，OA与OP1的夹角为θ。
解析：静电平衡后，感应电荷的作用是使导体球壳等势。本题的基本思想是：如果能在某个位置处找到一个假想的点电荷，这个点电荷的作用与感应电荷的作用（本题中是使空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0）等效，那么，我们就可以用这个假想的电荷来等效代替感应电荷。这样，导体空腔内部任意点的电势或场强就可以很方便地由电势叠加原理或场强叠加原理求出。这个假想的等效电荷也叫做感应电荷的“电像”。但要注意：感应电荷的“电．．．．．．．．．．．．像”一定位于施感电荷（引起静电感应的电荷）的异侧。并且，只能计算施感电荷一侧的场．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．强和电势。 ．．．．．
如图5所示，S为原空腔内表面所在位
A1 O ??P2 a a P1 SR图5 ?的位置应位于OP1的延长线上的置，q1?的位置应位于OP2的延某点B1处，q2长线上的某点B2处。设A1为S面上的任意一点，根据题意有
B2
B1
kq1A1P1q2A1P2?k?q1A1B1?q2A1B2?0 (1)
k?k?0 (2)
怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图5中?OP1A1与?OA1B1的关系。
?的位置B1使下式成立，即 若等效电荷q1
OP1?OB1＝R2
(3)
即
OP1OA1则 △OP1A1∽△OA1B1 有
?OA1OB1
(4)
电磁学部分
A1P1A1B1?OP1OA1?a R(5)
? 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷q1
???q1Rq1 (6) a?的位置B1到原球壳中心位置O的距离 由 (3) 式知，等效电荷q1R2 OB1? (7)
a同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，用类似的方法可求得等效电荷
???q2Rq2 (8) a?的位置B2到原球壳中心O位置的距离 等效电荷q2R2 OB2?
a(9)
?共同产生，即 ?、q2、q22．A点的位置如图6所示。A的电势由q1、q1?1R11R1?? (10) UA?kq?????PAaBAPAaBA?122??1因为
22P1A?r?2racos??a
??R2??cos??????a? ???B2 22P2A?r?2racos??a ?R2B2A?r?2r??a?2?R22B1A?r?2r??a?2A O ??a a P1 P2 RS 图6
B1 ??R2??cos??????a? ???2代入 (10) 式得
?1R? UA?kq? ?222224s?aar?2raRco?s?R?r?2raco??1r2?2racos??a2??? (11) ?a2r2?2raR2cos??R4?R
电磁学部分
例题5
如图所示，导体A带电量Q，带剧院柄导体小球B、空腔导体C均不带电。当B与A接触后，B移至C并与其内壁接触，此时C嗲点亮为q，以后不断重复这一过程。当最后一次B与C接触后C带电量为Q/2。若B再与A接触，A还有多少电量？ 例题6
A C
答案：
物理竞赛电磁学习题集(含解答)
