基于集成有限条法的大跨斜拉桥的地震分析
摘要：
本文提出了一种基于集成有限条法和时程分析法的用于大跨斜拉桥进行地震分析的方法。该方法降低了结构集成时间、减少了结构的自由度从而提高了计算分析的速度。现有的有限条法仅对桥面进行建模，而将其他结构构件由边界条件代替。使用集成有限条法，可以对大跨斜拉桥的所有构件建模。因此，可以考虑包括桥面，桥墩和拉索之间的相互作用的真实的动态响应。为了验证本文提出方法的有效性，对一座大跨斜拉桥进行了在均匀和非均匀地震荷载下的地震反应分析。结果表明，集成有限条法可以成功应用于大跨度斜拉桥的地震分析，并且可以显著地降低分析时间。
关键词：集成有限条法;大跨斜拉桥;地震分析; 时程分析 1前言
为了满足经济和社会发展对安全和高效的运输系统的需要，世界各国普遍大力发展了大跨度桥梁。如今，由于大跨度斜拉桥的经济性，与悬索桥比起来引起了更多的关注。由于刚度低，现代大跨度斜拉桥对动荷载非常敏感。因此，解决抗风和抗震设计是关键。
大跨度桥梁在地震荷载和风荷载作用下的结构响应是非常复杂的，需要有与精确分析和相应的计算手段。大多数桥梁结构分析是通过有限元软件实现的。过去几十年，有限元法的准静态数值分析在研究和设计大跨桥梁中得到广泛应用（Cook等人，1989）。随着跨度的增加和轻质复合材料的应用，这些结构的动态特性变得更加复杂，使得常规有限元法不能进行正确分析。
由Y. K. Cheung在20世纪70年代（Cheung和Cheung 1971）所提出的有限条法作为一种半分析数值分析，已经显示了分析桥梁结构的巨大潜力。然而，由于一些限制，这种方法不像有限元法那样流行。例如，有限条法只能处理棱柱形构件且为简支约束支撑的桥梁。此外，该方法不能处理具有剪力、部支撑和集中荷载作用的情况。尽管有限条方法在结构分析中有很多实际应用，但都局限于桥梁的上部结构的地震分析中。桥梁的桥墩和拉索通常用边界条件代替。一种考虑桥墩和拉索影响的方法是将桥墩和拉索用其他单元（如边界单元）建模，通过迭代获得桥面和桥墩之间的相互作用。然而，该方法仅能进行静态和准静态分析。为了对复杂桥梁结构进行动态分析，Cheung
等人2009; Shen等人2013; Naderian等人2015）提出了集成有限条法（IFSM）使得有限条法可用于大跨斜拉桥的整体动态分析。Shen等人比较了集成有限条法和有限元法分析所需的计算时间。在相似的建模和网格划分条件下，当通过集成有限条法对中等跨度桥梁进行动态分析时，用时274分钟，而有限元法则用时298分钟，集成有限条法大约提高10％的计算速度。并且，在集成有限条法中每条的单元数可以进一步降低，从而提高计算效率。
当对具有大量自由度的大跨斜拉桥进行动态分析时，与有限元法比所节约的时间将更加可观。集成有限条法可以对具有各种类型的约束支撑和部支撑的大跨斜拉桥进行快速和准确的地震分析。在大跨桥梁的动态分析和设计方面，应特别考虑在整个桥梁寿命期强震和强风的作用。近几十年来，在大跨结构工程中地震随机分析方面取得了重大进展。在有限条动力分析领域，Cheung和Cheung（1971）首先提出了用于具有不同边界条件的薄壁结构的自由振动分析的有限条法。Dawe（2002）基于薄板理论使用常规和样条有限条法对复合层压板，棱柱板和壳结构的进行了广泛的研究。该研究使用有限条法分析了单跨和多跨结构的自然频率，并评估了平板对动态荷载的瞬态响应。Wang和Zhang（2005）介绍了一种用于复合板自由振动分析的分层B样条有限条法。在该方法中，复合层叠板沿厚度方向分成多个层。在风致动力响应方面，Lau等人将有限条法与有限元法相结合应用到了大跨斜拉桥的颤振分析中。Li（1988）和Cheung等对任意形状的板和壳进行了自由振动分析。Cheung（2009）和Shen（2013）在频域法中引入了用于板梁和箱梁桥动态分析的集成有限条法。
基于集成有限条法，本文对大跨斜拉桥进行了地震荷载作用下的时程分析。首先，简要介绍了大跨度斜拉桥的刚度，质量和阻尼矩阵的推导。使用从集成有限条法导出的刚度和质量矩阵，通过使用Newmark法进行了时程分析。。
通过比较有限元法获得的固有频率和从现场调查中报告的固有频率，对集成有限条法在大跨斜拉桥动态分析中解的精度进行了评估。此外，研究了均匀，不均匀和变化的地震激励对桥的结构特性的影响。数值计算结果表明，大跨度斜拉桥动力分析中集成有限条法的收敛性和精度非常高，证实了该数值技术的效率和能力。
2位移函数
通过在纵向上应用B3样条函数（Prenter 1975）获得在集成有
限条法中。横向的条带的位移与有限元法相同，其中三次多项式用于表示条的横向形状函数。
假设桥面是一个板壳结构，在分析中包括面和面外自由度。平板样条有限条如图1所示，其中节点线的每个节点具有四个自由度，三个平移u，v和w，以及一个转动?。平板条的总势能可以从平面变形的和平面外变形的代数和得到。
图1 平板样条有限条
以ym为中心的平板条的位移参数向量由下式给出
T（1） {?}m?[uim,vim,wim,?im,ujm,vjm,wjm,?jm]集成有限条法是基于使用不等间隔的B3样条函数，通过该函数得到过渡段并将不同的结构构件连接在一起。此外，将支撑位置和集中载荷作用的位置与节点线上的节点重合，从而能得到更准确的结果。此外，引入不等间隔的部结使得能够通过更紧密地间隔结点来描述在
?0y?ym?2?高应力梯度的区域中或在几何形状突变处的准确响应。以ym为中心的3ym?2?y?ym?1?Am(y?ym?2)不等间隔的B3 3?样条函数可以表示为3ym?1?y?ym?Am(y?ym?2)?Cm(y?ym?1)?m(y)??(2) 33?1Am?[(ym?1?y)(y?y)(y?y)]B?m2(ym?m)?2?Dmm(ym?y?ym?1mm?y1m?1?m?y2)2其中： ???13?1Cm??(ym?2??y)[(y?y)(y?y)(y?y)(y?y)]0y?ym?2m?2m?1m?1m?1mm?1m?1m?2?m?2(3)
Dm??(ym?2?ym?2)[(ym?1?ym?2)(ym?1?ym?1)(ym?1?ym)(ym?2?ym?1)]?1Bm?[(ym?2??yB?y)(ym?2?ym?1)]()(yym??m?2y)mm1m?2ym?1?y?ym?2膜位移函数u和v以及弯曲位移函数w由横向多项式和纵向B3样条的乘积表示为如下所示：
r?1u??(N1?1m(y)uim?N2?5m(y)ujm)（4）
rm??11v??(N1?2m(y)vim?N2?6m(y)vjm)（5）
r+1m?1w=?(N3F3m(y)wim+N4F4m(y)qim+N5F7m(y)wjm+N6F8m(y)qjm)（6）
m-1其中r 为节点线上的纵向截面的总数。在上述等式中采用的横向形函数是用于垂直位移变化和用于平面位移的线性插的三次Hermite多项式函数，如下： 2N1?1?X,N2?X,N3?1?3X?2X3,（7） 223N4?x(1?2X?X),N5?3X?2X其中X=x/b. ?1m到?8m为一维行矩阵，并且每个矩阵具有（m + 3）个局部B3样条。?1m、?2m、?5m和?6m分别与节线i和j的位移u和v相关，?3m、?4m、?7m和?8m与位移w有关。
桥墩和塔柱用与平板条类似的柱条来建模，并模拟为在一端固定，用于提供支撑边界条件，并且另一端为自由的垂直条，如图2所示。
事实上，柱状条全局z方向与相应方向上由平面刚度控制的平面壳体样条有限条中的局部y方向类似，而全局方向类似于壳体样条有限条的局部z方向。利用假定的位移函数和预设边界条件，可以通过使用传统的有限元概念来得到柱条的形函数。
图2垂直条
有时，一维柱条更适用于桥墩和塔柱的建模，因为它只有一条节点线并且类似于有限元法中使用的梁单元。属于节点线的每个节点具有三个平动自由度。因此，可以将位移函数定义为
r?1u??um?m(z)（8）
r??11mw??wm?m(z)（9）
rm??11v??vm?m(z)（10）
m?1对于位移-应变关系，因为在一维条中剪力和扭矩非常低而仅考虑在垂直和横向方向上的弯曲和轴向应力。
为了在有限条中对拉索进行建模，开发了索条。通常，拉索只能承受轴向拉力，因此索条中只定义了轴向应力的应变-位移关系。在有限条法中所有条都必须预设边界条件。
转换部分的建模
利用有限元法中的单元和节点的概念，很容易建立其它构件的单元来将与桥面板连接在一起。然而，纵向方向上的概念单元与普通有限条法或样条有限条法中定义的不同。为了解决这个问题，在集成有限条法种开发了一种特殊的转换部分，用于连接复杂结构的不同构件，例如大跨斜拉桥。转换部分是通过使用不等间隔的B3样条函数来建立的。此外，支座可以用转换部分的特殊边界条件来建模。连接两个不同构件的典型转换部分如图3所示。不失一般性，假设正常和转换部分的宽度分别为H和h。例如，垂直线可以称为桥墩条上的节线，水平线可以称桥面板条上的节线。垂直线和水平线分别在桥面板条和桥墩条的结3和8处重叠。为了对允许转动但限制平动的固定支撑进行建模，结3和8应当具有相同的位移值以实现兼容性。为了在结3和8处具有相同的位移，h / H应当无限小。使用在样条有限条中建立的转换部分，满足结构的不同构件的位移协调性。
图3转换部分（图是错的） 刚度，质量和阻尼矩阵
在集成有限条法中定义了大跨斜拉桥中所有结构构件的位移函数之后，可以通过使用标准有限元法计算不同构件的刚度[k]和质量[m]矩阵，如下所示：
T[k]??[B][D][B]jdA（11） iT[m]???t[N][N]jdA（12） i其中?为密度，t 为条的厚度; [D]和[B]分别为弹性矩阵和应变矩阵; [N为形函数矩阵。类似于有限元法，在建模过程中将集成有限条法条部位移转换为节点位移，但是由于集成有限条法的半分析属性，所需节点的数量显着减少。因此，可以使用标准形成总刚的方法形成总体刚度矩阵[K]和总体质量矩阵[M]。
有不同的方法来评估阻尼矩阵[C]。本文采用了经典的瑞利阻尼，并将桥梁的阻尼矩阵[C]表示为桥梁的刚度和质量矩阵的函数，如下所示：
[C]??[M]??[K]（13）
其中?和?是瑞利阻尼因子，其可以通过具有与两个特定频率相关联的两个结构阻尼比j来研究。结构的第n阶模态阻尼比j由下式给出
?1?n???n?（14）
2?n2假设对于两种不同模态具有相同的阻尼比j，可以计算?和?。 数值研究（分析） 一般情况
本文的研究对象是的汲水门大桥，如图4所示。它是一个超大跨斜拉桥结构，总长750米，主跨度为430米。桥结构包括两个高度为145和133m;混凝土塔架，四个分别为24.8,32.9,16.9和26.8m的混凝土桥墩，176根拉索; 数个支座和一个桥面板。为了研究桥梁在地震荷载下的响应，建立了有限条模型。
图4 汲水门桥
桥梁的有限条法建模
汲水门桥的主跨由复合钢混凝土结构组成，边跨由混凝土箱梁制成。桥梁模型所用的材料性质如表1所示，Zhang等人（2001），几何性质如图5所示。桥面板由四块壳样条条组成，所有条分为几个部分。这些部分的长度沿着桥面板变化，使得结的位置与拉索的的端部一致。
基于有限条法的长跨斜拉桥地震分析报告
