求曲线方程的常用方法

求曲线方程的常用方法

曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究． 1．定义法

求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法． 例1 如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E.

(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a＝2时该椭圆的标准方程；

(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离13心率e∈?，?，求点Q的纵坐标的取值范围．

?22?解 (1)依题意，直线m为线段AM的垂直平分线， ∴|NA|＝|NM|.

∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2，

∴N的轨迹是以C、A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆． 当a＝2时，长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2， ∴b2＝a2－c2＝3.

x2y2

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

43

x2y2

(2)设椭圆的标准方程为2＋2＝1 (a>b>0)．

ab由(1)知：a2－b2＝1.又C(－1,0)，B(0，b)， xy

∴直线l的方程为＋＝1，即bx－y＋b＝0.

－1b设Q(x，y)，∵点Q与点A(1,0)关于直线l对称，

?∴?x＋1y

b·?2－2＋b＝0，

y

·b＝－1，x－1

4b

消去x得y＝2.

b＋1

1313

∵离心率e∈?，?，∴≤e2≤，

44?22?1134

即≤2≤.∴≤a2≤4. 4a43

43∴≤b2＋1≤4，即≤b≤3， 33

4b4∵y＝2＝≤2，当且仅当b＝1时取等号．

1b＋1

b＋b又当b＝3时，y＝3；当b＝

3

时，y＝3.∴3≤y≤2. 3

∴点Q的纵坐标的取值范围是[3，2]． 2．直接法

若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．

例2 已知直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0.有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M的轨迹方程． 解 如图，设M(x，y)，圆半径为r，M到l1，l2的距离分别是d1，d2，

22222则d21＋13＝r，d2＋12＝r， 2∴d22－d1＝25，

即?

?3x－2y＋3?2－?2x－3y＋2?2＝25，化简得圆心M的轨迹方程是(x＋

???13??13??

1)2－y2＝65.

点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x，y的方程即可． 3．待定系数法

若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．

例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆2

的长轴长是6，且cos∠OFA＝，求椭圆的方程．

32

解 椭圆的长轴长为6，cos∠OFA＝，

3所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点， 所以|OF|＝c，|AF|＝|OA|2＋|OF|2＝b2＋c2 c2

＝a＝3，＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，

33x2y2x2y2

故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

95594．相关点法(或代入法)

如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系，借

助于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹．

例4 如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．

分析 设P(x，y)，因为P是QN的中点，为此需用P点的坐标表示Q点的坐标，然后代入双曲线方程即可．

解 设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)， ∵点P是线段QN的中点， ∴N点的坐标为(2x－x0,2y－y0)．

又点N在直线x＋y＝2上，∴2x－x0＋2y－y0＝2， 即x0＋y0＝2x＋2y－2.① 2y－2y0又QN⊥l，∴kQN＝＝1，

2x－2x0即x0－y0＝x－y.②

11

由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．

22又∵点Q在双曲线上，

11

∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1. 44111

x－?2－?y－?2＝. 化简，得??2??2?2∴线段QN的中点P的轨迹方程为

?x－1?2－?y－1?2＝1. ?2??2?2

点评 本题中动点P与点Q相关，而Q点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P、Q两点坐标间的关系，用相关点法求解． 5．参数法

有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x，y)中的x，y分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．

例5 已知点P在直线x＝2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程． 解 如图，设OP的斜率为k， 则P(2,2k)．当k≠0时， 1

直线l的方程：y＝－x；①

k